考研概率论复习古典概型中几种地研究模型

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1、实用标准文档古典概型中研究的几类基本问题:抛硬币、掷骰(tóu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要

2、讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.一、摸球问题[例1]袋中有α个白球,β个黑球：(1)从中任取出a＋b个(a,b∈N,α≤a,b≤β,试求所取出的球恰有a个白球和b个黑球的概率；(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率；(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.思考方法这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+

3、β个球中任取a+b个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑.[解](1)设A1表示事件“所取的a+b个球中恰有a个白球和b个黑球”.从α+β个球中任意摸出a+b个,有种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事件A1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a个,从β个黑球中任取b个的取法种数,共种.所以P(A1)=(2)

4、设A2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得,有种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有种取法.因此,A2所包含的样本点数为.于是精彩文案实用标准文档P(A2)=(3)袋中只剩白球时(设此事件为A3),取出的球必为β个黑球,i个白球(i=0,1,…,α-1).用Bi表示事件“取出β个黑球,i个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,…,α-1),则事件B0,B1,…,Bα-1,β必两两互不相容,且A3=B0+B1+…+Bα-1．依概率的有限可加性,

5、有P(A3)=P(B0)+P(B1)+P(B2)+…+P(Bα-1)依事件Bi的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从α+β个球中任取i+β个球的排列.所以,样本点总数为.注意到i+β个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+β个球中,最后取出的一个应是黑球.这样,事件Bi的有利场合,就是i+β-1个球的全排列(β个黑球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球).显然,i个白球可从α个白球中取得,有种取法;β-1个黑球可从β个黑球中取得,有种取法,．从而事件Bi所包含的样本点数为.于是P(Bi)==把诸P(Bi)的值代入(1)式,并注意到+…即得P(A

6、3)=…==评注如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会,我们再来看下面的例子：(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：①5只都是好的概率为多少？②5只中有2只坏的概率为多少？(答案：①;②)(2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率.　　　　　　(答案:)(3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率.精彩文案实用标准

7、文档　　　　　　　　(答案：)(4)用火车运载两类产品,甲类n件,乙类m件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率.　(答案:)(5)一个班级有2n个男生和2n个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率.　　　　　　　　(答案：)(6)从数1,2,…,n中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率.　　　　　(答案：当n为偶数时,p=；当n为奇数时,p=)不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题(例1(1)).我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此.,二、分球入盒问题[例2]把n个球以同样的概率

8、分配到Ｎ(n≤Ｎ)个盒子中的每一个中去,试求下列各事件的概率：(1)Ａ：某指定n