奥数：初中奥数系列：.全等三角形辅助线总体.学生版

《奥数：初中奥数系列：.全等三角形辅助线总体.学生版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、全等三角形中考要求内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决有关问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系例题精讲常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一

2、点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．特别声明：本讲为全等三角形常用辅助线作法，有些例题

3、涉及到等腰三角形以及特殊四边形的性质，所以建议在讲之前对等腰三角形和特殊四边形的基本性质要有所了解。模块一、借助角平分线造全等角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线。2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形。3．，这种对称的图形应用得也较为普遍。【例1】如图，中，平分，且平分，于，于.（1）说明的理由；（2）如果，，求的长.【例2】如图，已知中，，，平分，求证：.【例1】如图，，平分，且，求证：.【例2】如图，平分，，且，求证：.【例3】(2006年北京中考题)已知中，，、

4、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．模块二、倍长中线（倍长类中线）造全等三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例1】已知，如图中，，，则中线的取值范围是_________.【例2】如图，中，分别在上，，是中

5、点，试比较与的大小.【例1】如图，中，，是的中点，求证：平分.【例2】如图，，为的中点，，求证：【例3】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．【例1】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．模块三、补形法【例2】如图，在凸五边形中，，，，是的中点.求证：.【例3】如图，在四边形中，，，若这个四边形的面积为，则=___________.模块四、平移变换【例1】在的边上取两点，使，过分别作的平行线，分别交于.求证：.【例2】如图，在的边上取两点，且，求证：.模块五、对称【例1】如图，中，由点作边上的高线，垂

6、足为.如果，求证：.【例2】如图，中，，为的平分线上的一点，求证：.【例3】如图，四边形中，，求证：模块六、旋转【例1】正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数.【例2】如图，中，。求证：.【例3】如图，，.求证：【例1】如图，已知，是边上的中线，分别以边，边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：模块七.割补面积【例2】如图为等腰三角形的底边上的中点，于点，于点，于点，，求证：．【例1】如图为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，求证：．【例2】如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点．、、之间存在着怎样的数量关系?【例3

7、】如图，点为正三角形内任意一点，于点，于点，于点，于点．、、、之间存在怎样的数量关系?【例4】点为正三角形外的一点，且于点，于点，于点，于点此时、、、之间存在怎样的数量关系?模块八、截长补短【例1】(2003年莆田市中考题)如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：【例2】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．课后作业1.如图所示．是等腰三角形，分别是腰及延长线上的一点，且，连接交底于．求证：．2.如图所示．在等边中，，，交于点，于．求证：．1.如图

8、所示．，，是边的中点，交