奥数：第五讲 奇数与偶数及奇偶数的应用

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1、一、基本概念和知识　　1.奇数和偶数　　整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。　　偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。　　特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。　　2.奇数与偶数的运算性质　　性质1：偶数±偶数=偶数，　　奇数±奇数=偶数。　　性质2：偶数±奇数=奇数。　　性质3：偶数个奇数相加得偶数。　　性质4：奇数个奇数相加得奇数。　　性质5：偶数×奇数=偶数，　　奇数×奇数=奇数。二、例题　　利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例11+2+3+…+1993的

2、和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。　　解法1：∵1+2+3+…+1993　　　　又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，　　∴原式的和是奇数。　　解法2：∵1993÷2=996…1，　　∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。　　∵996个偶数之和一定是偶数，　　又∵奇数个奇数之和是奇数，　　∴997个奇数之和是奇数。　　因为，偶数+奇数=奇数，　　所以原式之和一定是奇数。例2一个数分别与另外两个相邻

3、奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？　　解法1：∵相邻两个奇数相差2，　　∴150是这个要求数的2倍。　　∴这个数是150÷2=75。　　解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有　　（2a+1）x-（2a-1）x=150，　　2ax+x-2ax+x=150，　　2x=150，　　x=75。　　∴这个要求的数是75。例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关

4、。　　解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。　　送贺年卡的人可以分为两种：　　一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。　　另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。　　他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。　　所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。　　证明：∵a、b

5、、c中有两个奇数、一个偶数，　　∴a、c中至少有一个是奇数，　　∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。　　又∵偶数×整数=偶数，　　∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。　　　　　　则有a+a′=b+b′=c+c′=9，因为9不会是进位后得到的　　又因为a′、b′、c′是a、b、c调换顺序得到的，　　所以a+b+c=a′+b′+c′。　　因此，又有（a+a′）+（b+b′）+（c+c′）=9+9+9，　　即2（a+b+c）=3×9。　　可见：等式左边是偶数，等式的右边（3×9=

6、27）是奇数.偶数≠奇数.因此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。　　这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：　　a×b×c×d-a=1991　　a×b×c×d-b=1993　　a×b×c×d-c=1995　　a×b×c×d-d=1997　　试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。　　解：由原题等式组可知：　　a（bcd

7、-1）=1991，b（acd-1）=1993，　　c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。　　∵1991、1993、1995、1997均为奇数，　　且只有奇数×奇数=奇数，　　∴a、b、c、d分别为奇数。　　∴a×b×c×d=奇数。　　∴a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数.这与原题等式组矛盾。　　∴不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。　　解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”