2.1.2 指数函数及其性质

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1、精品2.1.2指数函数及其性质知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用.能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法，增强识图用图的能力.情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用.教学难点：指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系.教学方法：探究式教学法.教学手段：采用多媒体辅助教学.教学过程：

2、一、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数.问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的球菌分裂次后,得到的球菌的个数与的关系式是：.问题2：某种机器设备每年按的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过年后

3、，机器的价值为原来的倍，则与的关系为.思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量与构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同.精品大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）（指数函数）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）二、探索研究(一)指数函数的概念：函数叫做指数函数.其中是自变量.函数的定义域为.在以前我们学过的函数中，一次函数用形如的形式表示，反比例函数用形如的形式表示，二次函数用的形式表示．这些函数

4、对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值.思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若，当时，恒等于0，没有研究价值；当时，无意义；若,例如当时，无意义，没有研究价值；若，则,是一个常量，也没有研究的必要.很好，所以有规定（对指数函数有一初步的认识）.（二）对数函数的图像与性质：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图像及性质，然后利用其图像和性质去解决数学问题和实际问题.思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：

5、画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、图像、单调性、奇偶性.思考2：如何来画指数函数的图像呢?画函数图像通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图.思考3：画出指数函数、的图像并观察图像有什么特征？精品函数的图像位于轴的上方，向左无限接近轴，向上无限延伸,从左向右看，图像是上升的,与轴交于(0,1)点.函数的图像位于轴的上方，向右无限接近轴，向上无限延伸，从左向右看，图像是下降的，与轴交于(0,1)点.思考4：函数能否由的图像得到的图像？关于轴对称.所以可以先画其中一个函数的图像，

6、利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图像，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用.思考5：选取底数的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图像．观察图像，你能发现他们有哪些共同特征？教师演示课件，以不同的底，作出函数的图像，描绘出其几何特征，将函数的图像和性质对应起来．利用几何画板，通过改变的值，让学生观察图像的变化规律．思考6：通过你们画的图像以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？底数分和两种情况．很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质呢？引导学生观察函数的图像特征，并总结函数的性质．思考

7、7：从特殊到一般，指数函数有哪些性质？并类比得出的性质．师生共同归纳：指数函数的图像与性质：精品图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点，即当时，（4）在上是增函数（4）在上是减函数强调：利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像，记住性质的关键在于要脑中有图．　三、应用举例：数学源于生活，还要服务于生活．学习函数的一个重要目标是应用．指数函数是生产生活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具．这节课我们先来了解一下它的简单应用．利用单调性比较大小．

8、例1. 比较下列各组数中各个值的大小：（1），；（2），；（3）；（4），，．分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小．精品说明