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1、第二十章曲线积分§1第一型曲线积分习题1．计算下列第一型曲线积分（1），其中L是以O（0，0），A（1，0），B（0，1）为顶点的三角形；(2),其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周；解右半圆周的参数方程为则（3），其中L为椭圆在第一象限中的部分；解因则（4），其中L是为单位圆周；解圆的参数方程则（5），其中L为螺旋线的一段；解（6），其中L是曲线的一段；解（7），其中L是与相交的圆周解L为圆，其参数方程为则2．求曲线的质量，设其线密度为解曲线质量3．求摆线的重心，设其质量分布是均匀的解重心坐标设为，则故重心坐标为§2第二型曲线积分1．计算第二型曲线积
2、分（1），其中L为本节例二中的三种情况；解沿抛物线，从O到B的一段，则沿直线段OB：，则沿封闭曲线OABO：则故（2），其中L为摆线，沿增加方向的一段解（3），其中L为圆周，依逆时针方向；解由圆的参数方程则（4），其中L为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向；解(5)其中L为从到的直线段解直线L的参数方程：则2．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功。解椭圆的参数方程则3．设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距离成反比。若质点沿直线从到，求力所做的功。解。因为力的方向指向原点，故其方
3、向余弦为其中力的三个分力为总练习题二十章总练习题1.计算下列曲线积分：(1),其中是由和所围的闭曲线;解如图20-8所示,闭曲线分有三段,因此.(i),从到,则.(ii),从到,则.(iii),从到,则.所以.(2),其中为双纽线;解如图20-9,则由和两部分组成;;则(1),其中为圆锥螺线,,,;解(2),为以为半径,圆心在原点的右半圆周最上面一点到最下面一点;解的参数方程为:从到.则.(3),是抛物线,从到的一段;解.则.(1),是维维安尼曲线,,若从轴正向看去,是沿逆时针方向进行的.解如图20-11所示的参数方程为则.2.设为连续函数,试就如下曲线:
4、(1):连接,的直线段;(2):连接,,三点的三角形(逆时针方向),计算下列曲线积分:,,.解(1)从到的直线段,,所以.(2):连接,,三点的三角形从到从到从到从到.所以1.设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数,且在上恒大于零.(1)试证明;(2)试问在相同条件下,第二型曲线积分是否成立?为什么?证(1)设为光滑(或按段光滑)曲线,且方程为则因为.从而由推广的积分第一中值定理存在得(2)不一定成立,因为有向曲线的方向可能会影响符号,例如,而曲线是直线上从到一段,则.1．计算下列曲线积分：（1），其中L是由和所围的闭曲线；（2），其中L为双纽线解由对称性
5、，在第一象限双纽线的参数方程为（3），其中L为圆锥螺线，（4）L为以为半径，圆心在原点右半圆周从最上面一点到最下面一点；（5）2．设为连续函数，试就如下曲线：（1）L：连结的直线段；（2）L：连结三点的三角形（逆时针方向），计算下列曲线积分：解（1）L：从到的直线段，（2）L：连结三点的三角形，从到：从到：从到：3．设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在弧上恒大于零证（1）由于在弧段AB上连续，则在弧段AB上，存在最小值。由已知在弧AB上恒大于零，则。设AB弧的长为，所以（2）不成立。第二型曲线积分的符号不仅与的正负有关，还与曲线弧段AB的方向有关
