第二学期第二十六次课.doc

《第二学期第二十六次课.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第二学期第二十六次课12.3.2用一个多项式的根和另一个多项式计算结式的公式命题设如果在中的分解式为（1）那么（*）证明在数域上的元多项式环中，令把按的降幂排列，则的系数为，得系数为：同理，把按的降幂排列，则的系数为，的系数为：于是有显然，。下面我们来说明下式成立：首先，是中的次齐次多项式。把（4）右端的行列式的第一行乘以，第二行乘以，，第行乘以，第行乘以，第行乘以，，第行乘以，得到一个行列式。容易看出，的第一列元素都是1次齐次多项式或0；第二列元素都是2次齐次多项式或0；；第列元素都是次齐次多项式或0。由于的每一项是从的第

2、1，2，，列中各取一个元素做成乘积，因此的每一个非零项的次数为又由行列式的性质得从而的每一个非零项的次数是这表明，是中的次齐次多项式。其次证明：对每个，有注意到我们把的第1列乘以，第2列乘以，，第列乘以，并且把它们都加到第列上，得到一个行列式。于是，利用（6）和（7）可得的第列为从的第列提出公因子，由此可得由于因此当时，与没有次数大于零的公因子。从而由于与都是次多项式，所以可设（8）将用0,…,0,1,…,1代入（8）和（4）得由上式得：。反代回（8）得现在将不定元用代入，从上式就得到又由行列式的性质容易推出这样就证明了（*

3、）式。12.3.3用一个多项式与它的微商的结式表达该多项式的判别式现在设根据前面对其判别式的定义，我们有因为，故以代入上式，得，从而有这就是的判别式与之间的关系式。