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1、直线的截距问题探讨[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与直线的截距有关，学生在解决这些问题时错误率较高，失误多笔者就高中新教材必修2——平面解析几何知识中的相关知识进行阐述，对有关直线截距的相关知识复习,仅以一个时(4分钟)为实例进行研究、探讨直线的截距问题探讨一、基础知识复习1定义：我们将直线在轴上的交点的纵坐标称为直线在轴上的截距特别地,若直线经过坐标原点,则该直线在x、轴上的截距均为零2应用:运用直线的截距求直线方程时,会简化运算;可以解决直线与圆的位置关系等问题3注意点:截距并不表示
2、距离,它可以为正,可以为零,也可以为负二、典型例题分析[例1]求经过点A（3，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程[学生练习]学生甲：设直线方程为因此，所求直线方程为学生乙：设直线方程为将点A（3，2）代入，得a=,即所求直线方程为x+-=0学生丙：若截距均为0，则设直线方程为=x,将点A（3，2）代入，得直线方程为2x-3=0;若截距不为0，则可设直线方程为将点A（3，2）代入，得直线方程为x+-=0[教师点评]对于学生甲，应对直线的斜率进行讨论，解题不严密。学生乙出现了漏解，原因在于：直线的截距并
3、不表示距离，截距可以为零，也可以为负值，应对截距的不同情形进行讨论，因此学生丙的解法是正确的。[变型题1]求过点A（2，-3），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程。仿上解法可求得直线方程为x--=0,或3x+2=0[变型题2]求过点A（3，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程。仿上解法可求得直线方程为x+-=0,或x--1=0或2x-3=0[例2]求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程[分析]这个问题不能直接设截距式方程求解,也要对截距为零的情形加以讨论[解]若截距为0,直线通
4、过原点,此时直线与圆相交,故截距不为0设直线方程为由圆心到直线的距离公式,得故所求直线方程为[变型题1]求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程[分析]由于坐标原点在圆上,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有一条另一方面,当直线的截距不为零时,应有两条故此问题的解答估计有三条直线符合题意[略解]若截距为0,利用圆心到直线的距离等于半径可以求出直线方程为若截距不为0设直线方程为由圆心到直线的距离公式,得故所求直线方程为[答]所求直线方程为[说明]此道题很特别，截距不为零时，刚好有一解为零所以此道
5、题最后仅有两解[变型题2]求与圆相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程[分析]由于坐标原点在圆外,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有两条另一方面,当直线的截距不为零时,有两条故此问题的解答有四条直线符合题意[答]所求直线方程为[变型题3]求与圆相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程[分析]由于坐标原点在圆上,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有一条另一方面,当直线的截距不为零时,应有两条故此问题的解答估计有三条直线符合题意[答]所求直线方程为[说明]注意此题与[变型题1]的比较[变型题4]
6、求与圆相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程[分析]由于坐标原点在圆外,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有两条另一方面,当直线的截距不为零时,有两条故此问题的解答有四条直线符合题意[答]所求直线方程为三、堂小结本节我们主要对直线的截距问题作了简要的介绍,请注意它们的用法,解题时特别注意截距为零或负值的情形这里要挖掘的东西还很多,由于时间关系,我们将在今后的复习过程中一一叙述
