特征函数在概率中的应用数学毕业论

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1、特征函数在概率中的应用[摘要]特征函数是一个非常重要的概念及其工具，在概率研究中起到非常重要的作用，本文将总结特征函数的定义，性质及其在概率中的应用。[关键词]特征函数；极限；随机变量；随机分布1引言随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发,介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布,并在随机变量的基本性质引导

2、下,讨论并阐述特征函数的各种应用.特征函数也是概率论中研究极限定理的强有力的工具。在概率论和数理统计中,求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.2特征函数2.1特征函数的定义设X是一个随机变量，称,−∞

3、质1令的特征函数分别为且与相互独立，那么的特征函数为.证明设是两个相互独立的随机变量，则的特征函数中的与也相互独立.由数学期望的性质可得故性质1得证.性质2令随机变量存在有n阶矩，那么的特征函数可以微分n次，且若则证明根据假定故下式中在积分号下对t求导n次，于是对，有令t=0，即.性质3若是特征函数，则（1），（2）（3）也是特征函数.证明（1）若是随机变量的特征函数，那么可以看作是随机变量（）的特征函数.（2）若与独立同分布，其特征函数为，那么是随机变量的特征函数.性质4（唯一性）随机变量的分布函数仅由特征函数决

4、定.证明设是任取的的连续点.令设在的连续点趋近，则有.根据分布函数左连续，并且的连续点在直线上稠密，即对每个有的连续点.从而由其连续点上的值唯一确定.性质5当且仅当时，函数与都是一个特征函数.证明若与都是特征函数，设随机变量与相互独立，且与的特征函数分别是和.因为的特征函数为，所以.故有因此必存在常数,使得所以服从单点分布即.反过来，若，则也是特征函数.所以当且仅当时，与都是特征函数.3特征函数的应用3…在求数字特征上的应用求分布的数学期望和方差.解由于的分布的特征函数为于是由得，由此即得我们可以看出用特征函数求正

5、态分布的数学期望和方差,要比从定义计算方便的多.3.2在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法,不难把性质4推广到n个独立随机变量的场合,而是n个相互独立的随机变量,相应的特征函数为则的特征函数为设是n个相互独立的，且服从正态分布的正态随机变量.试求的分布.解由于的分布为，故相应的特征为，由特征函数的性质可知的特征函数为而这正是的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从3.3在证明二项分布收敛的应用在n重贝努力实验中，事件A每次出现的概率为p(0

6、结论只需要证明下面的结论，因为它是下面结论的一个特例。若是一列独立同分布的随机变量，且则有证明设的特征函数为则的特征函数为，又因为所以于是特征函数有展开式从而对任意的t有，而是N（0,1）分布的特征函数，由连续定理可知成立，证毕。我们知道在中是服从二项分布。的随机变量，为“泊松分布收敛于正态分布”。我们把上面的结论常常称为“二项分布收敛于正态分布”。3.5在证明极限定理的应用定理1（辛钦大数定律）设是一列独立分布的随机变量，且数学期望存在，则对任意的，有.证明因为具有一样的分布，所以它们也有一样的特征函数.我们把这

7、个特征函数记为，又由于存在，从而特征函数有展开式再由独立性知的特征函数为.对任意有.已知是退化分布的特征函数，对应的分布函数为.根据连续性定理的分布函数弱收敛于，因为是常数，则有.定理2（林德贝格——勒维定理）若是一列独立同分布的随机变量，且则有.证明设的特征函数，则的特征函数为.又因为所以.于是特征函数的展开式.从而对任意固定的有而是分布的特征函数，从而定理得证.3.6在证明函数的随机变量和分布中的应用.利用归纳法：我们可以把性质1进行推广到个独立随机变量的场合，令为个相互独立的随机变量，它们所对应的特征函数为则

8、的特征函数为例设为个相互独立的随机变量，且它们服从分布的正态随机变量，试求的分布.解由得分布为，所以它们对应的特征函数为我们根据特征函数的性质可知的特征函数.而它却是分布的特征函数.从而根据分布函数与特征函数的一一对应关系即可知服从分布.例设随机变量相互独立且分别服从为的普哇松分布，求解对于任何一个，服从参数为的普哇松分布，从而我们知道它的特征函数为，而是参