数学中考总复习:二次函数--知识讲解(基础)

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1、精品中考总复习:二次函数—知识讲解(基础)【考纲要求】1.二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等;2.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;3.抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难,在解答题中出现.【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地,如果(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.要点诠释:二次函数(a≠0)的结构特征是:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.(2)二次项系数a≠0.考点二、二次函数的图象

2、及性质1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线,顶点为.2.当a>0时,抛物线的开口向上;当a<0时,抛物线的开口向下.3.①

3、a

4、的大小决定抛物线的开口大小.

5、a

6、越大,抛物线的开口越小,

7、a

8、越小,抛物线的开口越大.②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置.c=0时,抛物线过原点;c>0时,抛物线与y轴交于正半轴;c<0时,抛物线与y轴交于负半轴.③精品ab的符号决定抛物线的对称轴的位置.当ab=0时,对称轴为y轴;当ab>0时,对称轴在y轴左侧;当ab<0时,对称轴在y轴的右侧.4.抛物线的图象,可以由的图象移动而得到.将向上移动k个单位得:.将向左移动h个单位得:.将先向上移

9、动k(k>0)个单位,再向右移动h(h>0)个单位,即得函数的图象.要点诠释:求抛物线(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式1.一般式:(a≠0).若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为,将已知条件代入,求出a、b、c的值.2.交点式(双根式):.若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为,将第三点(m,n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.3.顶点式:.若已知二次函数

10、图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.4.对称点式:.若已知二次函数图象上两对称点(x1,m),(x2,m),则可设所求二次函数为,将已知条件代入,求得待定系数,最后将解析式化为一般形式.要点诠释:已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:).精品考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向:a>0时,开口向上,否

11、则开口向下.2.对称轴:时,对称轴在y轴的右侧;当时,对称轴在y轴的左侧.3.与x轴交点:时,有两个交点;时,有一个交点;时,没有交点.要点诠释:当x=1时,函数y=a+b+c;当x=-1时,函数y=a-b+c;当a+b+c>0时,x=1与函数图象的交点在x轴上方,否则在下方;当a-b+c>0时,x=-1与函数图象的交点在x轴的上方,否则在下方.考点五、二次函数的最值1.当a>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,当时,.2.当a<0时,抛物线有最高点,函数有最大值,当时,.要点诠释:在求应用问题的最值时,除求二次函数的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围.【典型例题】类型一、

12、应用二次函数的定义求值1.二次函数y=x2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,且图象的对称轴在y轴的右侧,则k的值是2.【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧,所以对称轴x=k+1>0,即k>-1;又因为二次函数y=x2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,所以y最小值==-4,可以求出k的值.【答案与解析】解:∵图象的对称轴在y轴的右侧,∴对称轴x=k+1>0,解得k>-1,∵二次函数y=x2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,精品∴y最小值==k+3-(k+1)2=-k2-k+2=-4,整理得k2+k-6=0,解得k=2或k=-3,∵k=-3<-1,不合题意舍去,∴k=

13、2.【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.举一反三:【变式】已知是二次函数,求k的值.【答案】∵是二次函数,则由得,即,得,.显然,当k=-3时,原函数为y=0,不是二次函数.∴k=2即为所求.类型二、二次函数的图象及性质的应用2.把抛物线向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为().A.B.C.D.【思路点拨】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线y=-x2顶点坐标为(0,0),向

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