小学奥数：4-3-6 燕尾定理.教师版

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1、燕尾定理例题精讲燕尾定理：在三角形中，，，相交于同一点，那么．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，是上任意一点，请你说明：【解析】三角形与三角形同高，分别以、为底，所以有；三角形与三角形同高，；三角形与三角形同高，，所以；综上可得.【例1】如右图，三角形中，，，求．【考点

2、】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】【巩固】如右图，三角形中，，，求.【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以【答案】【巩固】如图，,,则【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】根据燕尾定理有,,所以【答案】【巩固】如右图，三角

3、形中，，，求.【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】【例1】如图，三角形被分成个三角形，已知其中个三角形的面积，问三角形的面积是多少?【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】设，由题意知根据燕尾定理,得,所以，再根据，列方程解得,所以所以三角形ABC的面积是【答案】315【例2】如图，三

4、角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于．【答案】【巩固】如图，已知，，三角形的面积是，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影

5、部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接，因为，，三角形的面积是30，所以，．根据燕尾定理，，,所以，，所以阴影部分面积是．(法二)连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以阴影部分的面积为．【答案】12.5【巩固】如图，三角形的面积是，在上，点在上，且,，与交于点．则四边形的面积等于．【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接，根据燕尾定理，，,设份，则份,份，份，份，所以【答案】93【巩固】如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占面积的几分之几？

6、【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的【答案】【巩固】如图所示，在中，，，与相交于点，若的面积为，则的面积等于．【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】方法一：连接．由于，，所以，．由蝴蝶定理知，，所以．方法二：连接设份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以【答案】2.4【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是，，，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾

7、定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为，和交于，则，再连结．所以三角形的面积为3.设三角形的面积为，则，所以，四边形的面积为．方法二：设，根据燕尾定理,得到，再根据向右下飞的燕子，有，解得四边形的面积为【答案】18【巩固】如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这部分的面积各是多少?【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接，设份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标

8、出如图所示，所以,,,【答案】【巩固】如图，在上，在上，且,，与交于点．四边形的面积等于，则三角形的面积．【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接,根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，份,份,如图所标,所以份,份所以【答案】45【巩固】三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解