华东师大版初中数学电子教材 第24章2 图形的相似_1

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1、§24.3相似三角形111．相似三角形112．相似三角形的判定123．相似三角形的性质164．相似三角形的应用17阅读材料20§24.4中位线22§24.5画相似图形26阅读材料27§24.6图形与坐标281.用坐标确定位置28小结33复习题33§24.3相似三角形1.相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar　triangles）．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24．3．1所示的两个三角形中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，．即△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，读作“△ABC相似于△

2、A′B′C′”．如果记＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比．做一做如图24．3．2，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A．通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．如果取点D为边AB的中点，那么上题中△ADE和△ABC的相似比就为k＝．当k＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形．全等三角形是相似三角形的特例．练习1．如图，正方形

3、ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．2．如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？3．　右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．2．相似三角形的判定我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的．这样从直观来看

4、，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？探索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？我们可以发现，它们的对应边成比例，即：　如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相

5、等，那么第三对角也一定对应相等．于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：　如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．思考如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？例1如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．证明∵　∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴　△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．例2如图24．3．5，△ABC中，D

6、E∥BC，EF∥AB，证明：　△ADE∽△EFC．证明∵　DE∥BC，EF∥AB，∴　∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴　∠AED＝∠C，∴　△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．练习1．找出图中所有的相似三角形．2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△A

7、BC相似．此时=__________．探　索如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？我们可以发现这两个三角形相似．这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法：　如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．例3证明图24．3．7中△AEB和△FEC相似．证明∵　，，∴　．∵　∠

8、AEB＝∠FEC，∴　△AEB∽△FEC（如果一个三