习题答案数值分析

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1、第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson公式求积分的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。解：①由梯形公式：最大误差限其中，②由梯形公式：最大误差限，其中，。4、推导中点求积公式证明：构造一次函数P（x），使则，易求得且，令现分析截断误差：令由易知为的二重零点，所以可令，构造辅助函数，则易知：其中为二重根有三个零点由罗尔定理，存在从而可知截断误差在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理综上所述证毕6、计算积分，若分别用复化梯形公式和复化Simpson公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有

2、效数字？解：①由复化梯形公式的误差限可解得：即至少剖分213等分。②由复化梯形公式的误差限可解得：即至少剖分4等分。7、以0，1，2为求积节点，建立求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。解：在0，1，2节点构造lagrange插值多项式，则有则对上式在[0，3]上求积分，则有其中再分析截断误差此处分段处理即1）其中，对于由于在[0，2]上不保持常号故考虑构造一个三次多项式满足下列插值条件：由Hermite插值方法，有则显然此时在[0，2]上恒小于等于0.于是由第二积分中值定理2）其中显然在[2，3]上恒正.于

3、是由第二积分中值定理综上，截断误差所以8、（1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。解：分别将，x代入求积公式，易知求积公式精确成立。代入，令求积公式精确成立，于是有：可解得：代入，于是有左=右，求积公式成立。代入，于是有，求积公式不精确成立。综上可知，该求积公式具有三次代数精度。9、对积分，求构造两点Gauss求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权的二次正交多项式；（2）用所构造的正交多项式导出求积公式。解：（1）构造在[0,1]上构造带权函数的正交多项式、、，取、，其中，则。同理，，求的零点得：，

4、求积系数：（2）求（1）可导出求积公式：11、试用三点Gauss-Legendre公式计算并与精确值比较。解：设三点Gauss-Legendre求积节点为：，，相应求积系数为：，，，,，，令则精确值为：ln3=1.09861229，二者误差：R≈5.7307×10-4。13、对积分导出两点Gauss求积公式解：在[0，1]上构造带权的正交多项式、、=1，同理可得求的零点可得以、作为高斯点两点高斯公式，，应有3次代数精度，求积公式形如将代入上式两段，联立解出：所以所求两点Gauss求积公式15、利用三点Gauss-Laguerr

5、e求积公式计算积分解：原积分，其中由三点Gauss-Laguerre求积节点：相应求积系数则16、设四阶连续可导，。试推导如下数值微分公式的截断误差。解：设是的过点的2次插值多项式，由Lagrange插值余项（n=2）有，其中若取数值微分公式则截断误差将代入得误差项中，所以截断误差为，即