高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题（一）导学案新人教a版必修5

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1、3．3.2　简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式或方程线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2、1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为(　　)A．9B.C．1D.答案　A解析　画出可行域如图：当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为(　　)A.B．8C．16D．10答案　D解析　画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A(1,1)，

3、OA

4、＝，B(2,2)，

5、OB

6、＝2，C(1,3)，

7、OC

8、＝.∴(x2＋y2)max＝

9、OC

10、2＝()2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)

11、

12、t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为(　　)A．－t2＋t＋B．－2t2＋2tC．1－t2D.(t－2)2答案　A解析　作出不等式组所表示的平面区域．由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(　　)A．3，－11B．－3，－11C．11，－3D．11,3答案　A解析　作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4

13、y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则

14、AB

15、的最小值为(　　)A.B．4C.D．2答案　B解析　如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．要求

16、AB

17、min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D(1,1)到直线3x－

18、4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴

19、AB

20、min＝4.二、填空题6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．答案　7解析　作出可行域如图所示．由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.7．已知－1

21、．8．已知实数x，y满足则的最大值为________．答案　2解析　画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.三、解答题9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解　如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，即y＝2x－z

22、，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.∴zmax＝17，zmin＝－7.10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．解　作出不等式组的可行域如图所示，由，得A(1,3)，由，得B(3,4)，由，得C(2,1)，设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．故zmax＝

23、OB

24、2＝25

25、，zmin＝

26、OC

27、2＝5.能力提升11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．解　作出可行域如图，由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，即

28、OP

29、2，最大值为

30、OA

31、2，其中A(4,10)，

32、OP

33、＝＝＝3，

34、OA

35、＝