高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系学案新人教b版必修2

《高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系学案新人教b版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.3.3　直线与圆的位置关系1．能熟练地掌握二元方程组的解法，并通过解方程或方程组，解决直线与圆的位置关系问题．2．根据给定的直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，设圆心(a，b)到直线的距离是d，d＝，则有：位置关系几何特征代数特征(方程联立)相离d＞r无实数解(Δ＜0)相切d＝r________相交________________代数法和几何法来研究直线与圆的位置关系各有特点．“几何法

2、”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．【做一做1－1】直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝64的位置关系是(　　)．A．外离B．相切C．相交D．相切或外离【做一做1－2】若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)．A．－1或B．1或3C．－2或6D．0或4【做一做1－3】(2010·课标全国卷)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．1．过点(x0，y0)

3、的圆的切线方程的求法剖析：(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)当点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)点(x0，y0)在圆外，则可设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，变成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，因为与圆相切，所以可利用圆心到直线距离等于半径，解出k.注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不能忽略．2．弦长的求法剖析：已知圆C：(x－x1)2＋(y－y1)2

4、＝r2，直线AB：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，如图，△ABC是等腰三角形，取弦AB的中点D，则CD⊥AB，且CD平分弦AB，因此弦长

5、AB

6、＝2，其中d表示弦心距，d＝.另外，还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算，这时结合根与系数的关系，进行整体代换求得，即将直线AB：y＝kx＋m代入(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2，消去y得关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，设直线与圆的交点A(x2，y2)，B(x3，y3)，则x2，x3是上述方程的两个根，由根与系数的关系，得x2＋x3＝－，x2·x3＝，则

7、

8、AB

9、＝＝＝

10、x2－x3

11、＝＝.题型一直线与圆的位置关系【例1】求当λ为何值时，直线λx－y－λ－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交？相切？相离？分析：可利用直线与圆的方程构成的方程组的解的情况，或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系，列条件求解λ的值或λ的取值范围．反思：判断直线与圆的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手，但用几何法解决更简便．题型二关于弦长问题【例2】求直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长．分析：求直线被圆所截弦长的方法，一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二

12、是用弦长公式．反思：求直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．题型三直线与圆的综合问题【例3】已知O为坐标原点，⊙O1：x2＋y2＋x－6y＋c＝0与直线x＋2y－3＝0的两个交点分别为P，Q，那么当c取何值时，OP⊥OQ?分析：利用代数方法，即联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系对OP⊥OQ进行转化．反思：当圆中的几何特征不明显时，往往采用代数方程的思想，体现了解析几何的本质特征．这也是解决解析几何的重要方法．【例4】求圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线l：3x＋4y－1

13、1＝0的距离为1的点有几个？分析：此题应从圆心到直线l的距离与圆的半径3之间的关系入手分析求解．反思：解决有关直线与圆的问题要有作图意识，准确作图能帮助我们更快更准地分析题意．另外，要善于挖掘题目的切入点，找出临界是关键．题型四易错辨析【例5】若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.错因分析：忘记讨论斜率不存

14、在时的情况．1直线l：4x－3y＋5＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0无公共点的条件是m∈(　　)．A．(－∞，0)B．(0,5)C．(1,5)D．(1，＋∞)2已知直线l：ax－y－b＝0，圆C：x2＋y2－2ax－2by＝0，则l与C在同一坐标系中的图形只可能是(　　)．3(2011·山东德