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《高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理互动课堂学案苏教版选修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.2演绎推理互动课堂疏导引导“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的《原本》就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其他命题.像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示：M
2、—P(M是P)三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是：若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——结论.例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提.如图所示,在锐角△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.求证：AB的中点M到D、E的距离相等.分析：解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角
3、形,(大前提)在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,(小前提)所以△ABD是直角三角形.(结论)同理,△AEB也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，(小前提)所以DM=.(结论)同理，EM=，所以，DM=EM.案例已知函数f(x)=ax+(a＞1).证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数.【探究】用演绎推理解决问题的常见模式是三段论.证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取两个自变量x1,x2，若x1＜x2,则有f(x1)＜f(x2),小前提是函数f(x
4、)=ax+(a＞1)在(-1，+∞)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键.证明：设-1＜x1＜x2,f(x2)-f(x1)=+--=-+-=()+=()+因为x2-x1＞0,又a＞1,所以-x1＞1.所以，而-1＜x1＜x2,所以x1+1＞0,x2+1＞0,所以f(x2)-f(x1)＞0,∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数.规律总结演绎推理一般分三段，称为“三段论”，其中第一段称为“大前提”，指的是一个一般原理.第二段称为“小前提”指的是一种特殊情况，第三段称为“结论”是所得的结论，当大前提是很显然时，一般可以省略不写.演绎推理在数学命题的推理中是常用的方法，证题中要注意灵活应用.活学巧用
5、例1已知a、b∈R,求证：.证明：设f(x)=,x∈［0,+∞),x1、x2是［0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1＜x2,f(x2)-f(x1)=.因为x2＞x1≥0,所以f(x2)＞f(x1).所以f(x)=在［0,+∞)上是增函数.(大前提)由
6、a
7、+
8、b
9、≥
10、a+b
11、≥0,(小前提)知f(
12、a
13、+
14、b
15、)≥f(
16、a+b
17、)(结论),即成立.例2梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在梯形ABCD中(如图),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证：AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.证明：(1)等腰三角形两底角相等(大前提),△DAC是等腰三角形,DA
18、、DC是两腰(小前提),∠1=∠2(结论).(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角(小前提),∠1=∠3(结论).(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1(小前提),∠2=∠3(结论),即AC平分∠BCD.(4)同理,DB平分∠CBA.例3已知函数f(x)=,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.证明：设0＜x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=()-()=(x2-x1)().当0＜x1＜x2≤时,则x2-x1＞0,,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(
19、x1)＞f(x2).∴f(x)在(0,］上是减函数.当时,则x2-x1＞0,,,∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).∴f(x)在［,+∞)上是增函数.例4已知函数f(x)=(a＞0且a≠1)(1)证明：函数y=f(x)的图象关于点()对称；(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x,y),它关于
