新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第二十五讲 辅助圆

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1、第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时,常需要借助于圆的性质,问题才得以解决.而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但是此圆并不是我们需要用的圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的实际存在的圆找出来,添补辅助圆的常见方法有:1.利用圆的定义添补辅助圆;2.作三角形的外接圆;3.运用四点共圆的判定方法:(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆.(2)同底同侧张等角的三角形,各顶点共圆.(3)若四边形ABCD的对角线相交于P,且PA·PC=PB·PD,则它的四个顶点共圆.(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P

2、,且PA·PB=PC·PD,则它的四个顶点共圆.【例题求解】【例1】如图,直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C,P为圆上一点,P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm,那么P到BC的距离为.思路点拨连DF,EF,寻找PD、PE、PF之间的关系,证明△PDF∽△PFE,而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆,突破角是解题的关键.注:圆具有丰富的性质:(1)圆的对称性;(2)等圆或同圆中不同名称量的转化;(3)与圆相关的角;(4)圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆,就为圆的丰富性质的运用创造了条件,由于图形的复杂性,有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”.【例2】如

3、图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点P,且PB=4,PD=3,则AD·DC等于()A.6B.7C.12D.16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆,为相交弦定理的应用创设了条件.注:到一个定点等距离的几个点在同一个圆上,这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.【例3】如图,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆.思路点拨先作出△ABC的外心O,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等.【例4】如图,P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D.求证:.思路点拨因

4、所证比例线段不是对应边,故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明.PA2=PD·PO=PB·PC,B、C、O、D共圆,这样连OB,就得多对相似三角形,以此达到证明的目的.注:四点共圆既是一类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位,这是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系的条件集中或转移,而且可直接运.用圆的性质为解题服务.【例5】如图,在△ABC中,高BE、CF相交于H,且∠BHC=135°,G为△ABC内的一点,且GB=GC,∠BGC=3∠A,连结HG,求证:HG平分∠BHF.思路点拨经计算可得∠A=45°,△ABE,△BFH皆

5、为等腰直角三角形,只需证∠GHB=∠GHF=22.5°.由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC,得B、G、H、C四点共圆,运用圆中角转化灵活的特点证明.注:许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题的难度,使问题获得简解、巧解或新解.学力训练1.如图,正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点,且∠OPB=45°,PA:PB=5:14,则PB的长为.2.如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点Pl、P2,…P100,记(i=1,2,…100),则=.3.设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF,且其垂心H不与任一顶点重合,则由点A、B、C

6、、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有()A.3个B.4个C.5个D.6个4.如图,已知OA=OB=OC,且∠AOB=∠BOC,则∠ACB是∠BAC的()A.倍B.是倍C.D.5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=998,CD=1001,AD=1999,点P在线段AD上,满足条件的∠BPC=90°的点P的个数为()A.0B.1C.21D.不小于3的整数6.如图,AD、BE是锐角三角形的两条高,S△ABC=18,S△DEC=2,则COSC等于()A.3B.C.D.7.如图;已知H是△ABC三条高的交点,连结DF,DE,EF,求证:H是△DEF的内心.8.如图,已知△A

7、BC中,AH是高,AT是角平分线,且TD⊥AB,TE⊥AC.求证:(1)∠AHD=∠AHE;(2)9.如图,已知在凸四边形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=.求证:∠BAC=∠CAD=∠DAK,10.如图,P是⊙O外一点,PA和PB是⊙O的切线,A,B为切点,PO与AB交于点M,过M任作⊙O的弦CD.求证:∠CPO=∠DPO.11.如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙OA、B两点,与ST交于点C.

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