高中数学奥赛系列辅导资料 函数奥赛竞赛练习教案

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1、函数奥赛竞赛练习一、选择题1．（2000年北京市中学生数学竞赛）已知函数y=f(x)有反函数，现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位，所得图形表示的函数的反函数是（）A．B．C．D．二、填空题2．（2001年全国高中数学联赛）函数的值域为_____。3．（2001年全国高中数学联赛）不等式的解集为___________。4．（2001年北京市中学生数学竞赛）函数f(x)对于任意非负实数x、y都满足，且f(x)≥0，f(1)≠0，则=______。三、解答题5．（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有

2、f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，（1）求证g(x)是周期函数；（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。6．（2000年全国高中数学联赛）若函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b]。7．（第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数在区间[-1，1]上的值域。8．（第九届“希望杯”全国邀请赛试题）若实数x满足不等式。试求函数的最大值。9．（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）作函数的图象。10．（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）函数是偶函数还是奇

3、函数？11．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。具体方案如下：方案代号基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）130480．602981700．6031683300．5042686000．45538810000．40656817000．35778825880．30原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：（1）“套餐”

4、中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由。参考答案1．A由于“抽象”没有具体的函数表达式，使题目显得有些难，化难为易的方法因而也就是化抽象为具体，不妨设f(x)=x+1（这样符合原题“f(x)有反函数”的规定）

5、。于是以下种种全具体化了。反函数是，，向左平移2个单位所得图形表示的函数。这个函数的反函数，再与4个选择来对照。A项是符合，B项是不合，C项是不合，D项是不合。故选A。2．两边平方得，从而且。由或y≥2。任取y≥2，由，易知x≥2，于是。任取，同样由，易知x≤1。于是。因此，所求函数的值域为。3．等价于或。即或。此时，或或。∴解为x>4或0

6、，得，即。设x=2，y=1，得，。设x=0，，得，∴。设x=0，，得，即，。至此可求，。5．解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得，①，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④由③、④知g(

7、x+6)=f(x)-x=g(x)。∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）（2）2000-998=1002是6的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=f(998)-998f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。6．解f(x)的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令，且，即

8、可得关于a、b的方程组，解出a、b的值。当a值由负值增大到正值时，区间[a，b]在x轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间