（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用文　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．4

2、．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈(0，)的最小值等于4.(　×　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×

3、　)1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案　81解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.2．若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．答案　4解析　由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，所以x－y>0，＝＝x－y＋≥2＝4，当且仅当x－y＝2，即x＝1＋，y＝－1时取等号，所以的最小值为4.3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案　3解析　当x

4、>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.4．(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案　25解析　设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤[]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.5．(教材改编)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．答案　解析　1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤()2＝，当且

5、仅当x＝4y＝，即时，(xy)max＝.题型一　利用基本不等式求最值命题点1　配凑法求最值例1　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．(3)函数y＝的最大值为________．答案　(1)1　(2)2＋2　(3)解析　(1)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立

6、．(3)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．思维升华　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2　常数代换或消元法求最值例2　(1)若

7、正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．(2)(高考改编题)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．答案　(1)5　(2)－2解析　(1)方法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5.(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.方法二　由x＋3y＝5xy得x＝，∵x>0，y>0，∴y>，∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4(y－)≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.(2)∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋

8、＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝时等号成立．又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．思