§1-1函数极限暂时的定义

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1、7§1-1函数极限暂时的定义第1章函数的极限和连续函数近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(Alembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证

2、明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。§1-1函数极限暂时的定义1.函数在某点的极限一个变量能够无限制地接近某一个常量(数)，就说“是变量的极限”。那么，“变量能够无限制地接近”是什么意思呢？它的的意思是说，“预先给出任何正数，不管它多么小，变量在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值小于或不超过那个正数，即”。对于作为变量

3、的函数来说，设函数在点的近旁有定义。当自变量无限制地接近且又不等于时，若函数值能够无限制地接近一个常数，简记成或xOy图1-1xx则称“常数为函数在点c的极限”(图1-1)。xOy图1-2ABxx类似地，设函数在点的左旁有定义。当自变量从点左边无限制地接近且又不等于时，若函数值能够无限制地接近常数(图1-2)，简记成则称“常数为函数在点c的左极限”。同理，设函数在点的右旁有定义。当自变量从点右边无限制地接近且又不等于时，若函数值能够无限制地接近常数(图1-2)，简记成则称“常数为函数在点c的右极限”。77§

4、1-1函数极限暂时的定义函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数在点的两边近旁都有定义，则图1-3DBCE1AxyO的充分必要条件是例1证明：证如图1-3中的单位圆，当时，则有(见下注)由此得从而有可见，当时，函数值无限制地接近，即得右极限；而左极限为(是奇函数)(用替换)因此有（因为左右极限相等）。【注】和是因为点到直线的距离垂线最短；是因为右端是左端弧长的过剩近似值。因此，，即。【问与答】问：圆弧长度是怎么定义的？答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在

5、§0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在§5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。xyOcy图1-5xOy图1-4cxx2.函数的连续点和间断点特别，若函数在含点的某个区间内有定义，且满足条件，则称点为函数的连续点(图1-4)；并称函数在点c是连续的。77§1-1函数极

6、限暂时的定义令(称为自变量的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把（图1-5）称为函数在点(相应于)的增量。因此，这就是说，函数在点连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。请读者特别注意，与的明显区别是：前者不考虑函数在点是否定义有函数值；后者中函数不仅在点定义有函数值，而且必须满足条件。在函数极限的定义中，规定是想让极限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有仅是一种特殊情形。若函数在点不能

7、满足条件，则称点为它的一个间断点。函数的间断点可能是下面的情形之一：y图1-6O1x可除间断点称点为函数的可除间断点，若有极限，且或者函数在点没有定义函数值[但在点近旁定义有函数值]，例如函数有可除间断点(图1-6)；或者函数在点定义有函数值，但，例如函数有可除间断点(图1-7)，因为。о1图1-7O2xyxx4图1-8-11yOx第一类间断点称点为函数的第一类间断点，若在点同时有左极限和右极限,但是，例如符号函数(图1-8)，因为所以点是符号函数的第一类间断点。77§1-1函数极限暂时的定义【注】有的教科

8、书中把可除间断点也称为第一类间断点。第二类间断点函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点处，左极限和右极限图1-9Ox图1-10-11O中，至少有一个不存在。研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。3