2019届高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及其应用配套练习 文 北师大版

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1、第3讲　平面向量的数量积及其应用一、选择题1．(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝2，则

6、a－b

7、＝(　　)A．0B．1C．2D.解析　

8、a－b

9、＝＝＝＝.答案　D2．(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．

10、a·b

11、≤

12、a

13、

14、b

15、B．

16、a－b

17、≤

18、

19、a

20、－

21、b

22、

23、C．(a＋b)2＝

24、a＋b

25、2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析　对于A，由

26、a·b

27、＝

28、

29、a

30、

31、b

32、cosa，b

33、≤

34、a

35、

36、b

37、恒成立；对于B，当a

38、，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.答案　B3．已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则

39、b

40、＝(　　)A．2B.C．10D．5解析　∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1,2)，∴

41、b

42、＝＝.故选B.答案　B4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)A．5B．4C．3D．2解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴·＝2×3

43、＋(－1)×1＝5，选A.答案　A5．(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足

44、b

45、＝4

46、a

47、，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2

48、a

49、2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝，故选C.答案　C二、填空题6．(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.解析　由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.答案　－7．(20

50、16·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝，∵〈a，b〉∈[0，π]．∴a与b夹角的大小为.答案　8．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．解析　由已知得＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)．若∥，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝.由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)．∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－.由题

51、意知，当m＝时，∥，且与同向．故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪.答案　∪三、解答题9．已知

52、a

53、＝4，

54、b

55、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求

56、a＋b

57、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

58、a

59、2－4a·b－3

60、b

61、2＝61.又

62、a

63、＝4，

64、b

65、＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)

66、a＋b

67、2＝(a＋b)2＝

68、a

69、2＋2a·b＋

70、b

71、

72、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴

73、a＋b

74、＝.(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又

75、

76、＝

77、a

78、＝4，

79、

80、＝

81、b

82、＝3，∴S△ABC＝

83、

84、

85、

86、sin∠ABC＝×4×3×＝3.10．(2017·合肥一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．解　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)s

87、inB＝－，所以cosA＝－.因为0b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7舍去，故向量在方向上的投影为

88、

89、cosB＝ccosB＝1×＝.11．(教材改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且

90、a

91、＝1，

92、b

93、＝1，

94、c

95、＝3，则

96、a＋b＋c

97、等于(　　)A．2B．5C．2或5D.或解析　由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都

98、等于或0°，

99、a＋b＋c

100、＝＝当夹角为0时，上式值为5；当夹角为时，上式值为2.故选C.答案　C12．(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析　在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.答案　D13．(2016·商洛统考)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若

101、＋

102、＝

103、－

104、(O为坐标原点)，则锐角θ＝___