高中数学 3.3.2简单的线性规划（一）新人教a版必修5

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1、3.3.2简单的线性规划【教学过程】2.讲授新课1.引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：……………………….（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品

2、获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取

3、得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。2、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变

4、量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．3、变换条件，加深理解探究：课本第88页的探究活动（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2）有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？（3）典型分析a)营养学家指出，成人

5、良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07若设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，如何列式

6、？由题设条件列出约束条件其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z[]28最小，即z最小.解方程组得点M(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.例

7、1.设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．【思维导图】作直线，平移此直线使目标函数取最值作出不等式组表示的平面区域代入求最值【解答关键】首先作出三条直线，然后判断不等式组表示的平面区域，然后作直线，平移此直线确定目标函数取最大值或最小值的点，把最优解代入求目标函数的最大（小）值.【规范解答】作出可行域（如图）.令，作直线：.把直线向上平移时，所对应的的函数值随之增大，从图上可以看出，当直线经过可行域内顶点B、A时，分别取得最小值、最大值.解方程组，得；解方程组，得.所以，，．3.随堂练习1．请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题

8、.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件解：不等