高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积例题与探究 新人教a版必修4

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1、2.4平面向量的数量积典题精讲例1若向量a、b、c满足a+b+c=0，且

2、a

3、=3,

4、b

5、=1,

6、c

7、=4.则a·b+b·c+a·c=_____________思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式.方法一：∵a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0，∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(

8、a

9、2+

10、b

11、2+

12、c

13、2)=-(32+12+42)=-26，∴a·b+b·c+a·c=-13.方法二：根据已知条件可知

14、c

15、=

16、a

17、+

18、b

19、

20、，c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-13绿色通道：方法一是将“（a+b）2=a2+2a·b＋b2”推广到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c予以解答.变式训练已知

21、a

22、=5,

23、b

24、=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?思路分析：（a+mb）⊥（a-mb）(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)

25、=0.∴a2-m2b2=0.∵

26、a

27、=5,

28、b

29、=12，∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.∴m=±.∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.例2(福建高考卷，理11)已知

30、

31、=1,

32、

33、=,·=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R)，则等于（）A.B.3C.D.思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).设=λ(cos30°,sin30°)=（λ,

34、λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(λ,λ)=(m,n)方法二：=(m+n)2=m2+n2=m2+3n2，∴

35、

36、=.由已知得∠BOC=60°，在等式=m+n(m、n∈R)两端同乘以，得·=m，∴m=

37、

38、·

39、

40、cos30°=m2=9n2.由题设知m＞0,n＞0,所以=3.答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练（2006福建高考卷，文9）已知向量a与b的夹角为120°，

41、a

42、=3,

43、a+b

44、=,则

45、b

46、等于（）A.5B.4C.3D.1思路解析：向量a与b的夹角为1

47、20°，

48、a

49、=3,

50、a+b

51、=,a·b=

52、a

53、·

54、b

55、·cos120°=-

56、b

57、，

58、a+b

59、2=

60、a

61、2+2a·b+

62、b

63、2，∴13=9-3

64、b

65、+

66、b

67、2，则

68、b

69、=-1(舍去)或

70、b

71、=4.答案：B例3（福建高考卷，理12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：

72、

73、AB

74、

75、=

76、x2-x1

77、+

78、y2-y1

79、.给出下列三个命题：（1）若点C在线段AB上，则

80、

81、AC

82、

83、+

84、

85、CB

86、

87、=

88、

89、AB

90、

91、;(2)在△ABC中，若∠C=90°,则

92、

93、AC

94、

95、2+

96、

97、CB

98、

99、2=

100、

101、AB

102、

103、2;(3)在△ABC中，

104、

105、A

106、C

107、

108、+

109、

110、CB

111、

112、＞

113、

114、AB

115、

116、.其中说法正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x非负半轴上的三点A(0,0),C(c,0),B(b,0),0＜c＜b,由题设，可得

117、

118、AC

119、

120、+

121、

122、CB

123、

124、=c+(b-c)=b=

125、

126、AB

127、

128、;另外在△ABC中，若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0),A(0,2),则

129、

130、AC

131、

132、=2,

133、

134、BC

135、

136、=1,

137、

138、AB

139、

140、=3,但

141、

142、AC

143、

144、2+

145、

146、CB

147、

148、2≠

149、

150、AB

151、

152、2，且

153、

154、AC

155、

156、+

157、

158、CB

159、

160、

161、=

162、

163、AB

164、

165、.所以(2)与(3)都不正确.答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算（操作）上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（2006陕西高考卷，理9）已知非零向量与满足()·=0且=,则△ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC.又cosA==，∴∠A=，所以△ABC为等边三角形.答案：D问题探究问题1任给8个非零实数a1,a2，…，a8,试探究下列六个数a

166、1a3+a2a4,a1a