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《高中数学 第二章 平面向量 2.5平面向量应用举例课时训练 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用1．利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因此,用向量解决平面几何问题,就是将几何的证明问题转化为的运算问题,将“证”转化为“算”,思路清晰,便于操作.2．向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求
2、夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.3．利用向量解决平面几何问题的步骤（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.这其实也是用
3、向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论.二、向量在物理中的应用向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象.1．向量与力向量是既有又有的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是
4、大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量到同一作用点上.2．向量与速度、加速度及位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的、以及运算，有时也借助于坐标运算来处理.3．向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的，为和的夹角).动量实际上是向量.参考答案：一、1．向量2．（1）（2）（3）（4）二、1．大小方向平移2．加法减法数乘3．数量积数乘重点：平面几何中的垂直、长度以及夹角问题.难点：利
5、用向量方法解决其他实际问题.易错：向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误．1.重点——平面几何中的垂直问题对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【答案】见解析.【解析】方法一设，则,又,所以.故，即AF⊥DE.方法二如题图,建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以.因为,所以，即AF
6、⊥DE.【归纳总结】用向量法解决平面几何问题,一般来说有两个方向：(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.2.重点——平面几何中的长度问题平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1,AB=2,对角线B
7、D=2,则对角线AC的长为.【答案】【解析】设，则.∴，∴，∴.∴，即．【名师点评】用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化,利用公式求解；二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解，即若，则.3.重点——平面几何中的夹角问题等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，则，∴.设向量的夹角为，则.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰
8、直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.4．难点——平面向量在物理中的应用一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而
