导热微分方程的推导_byja

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1、导热微分方程的推导Jacob〇．傅立叶定律其中，，，分别为x，y，z坐标轴上的单位矢量。为导热率（单位）。其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流（单位），与该处的温度梯度成正比，但方向相反。一．导热微分方程的推导依据1．依据根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程；，物体在单位时间内获得的热量；，物体在单位时间内内能的增加；，物体对外界所做的功。对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功可忽略不计，上式变为：2．一般性假设(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；(2)热导率、比热容和

2、密度均为已知；(3)物体内具有内热源，强度（单位），表示单位体积、单位时间内放出的热量二．直角坐标系下导热微分方程的推导考察时间内微元体中：[导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]1.导入与导出微元体的净热量（1）时间内、沿x轴方向、经垂直于x轴的热量导入表面导入的热量：(单位)同理，时间内、沿x轴方向、经垂直于x轴的热量导出表面导出的热量：(单位)，分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位。请注意，事实上这里有：，所以导入与导出的热量差为：(单位)同理：（2）时间内、沿y轴方向、经垂直于y轴的两表面导入导出的热量差：(单

3、位)（3）时间内、沿z轴方向、经垂直于z轴的两表面导入导出的热量差：(单位)2．微元体自身的发热量时间内，微元体自身的发热量：3．微元体热力学能的增量（即微元体温度升高耗费的能量）时间内，微元体温度升高耗费的能量：根据前面所述的能量守恒，有：即整理得：又因为傅立叶定律，即，所以：，，，带入上式，得直角坐标系下的导热微分方程：三．柱坐标系下导热微分方程的推导注意，直接写出柱坐标系下的傅立叶定律：解释如下：沿着方向的温度梯度：，容易理解；沿着方向的温度梯度：，我们把它写成，注意分母是沿着方向的微小增量，或许就容易理解了；沿着方向的温度梯度：，这个

4、很好理解，不多解释。依据能量守恒，最后可得出柱坐标系中的导热微分方程：四．球坐标系下导热微分方程的推导注意，直接写出球坐标系下的傅立叶定律：解释如下：沿着方向的温度梯度：，容易理解；沿着方向的温度梯度：，写成的形式，可能就容易理解了，注意分母正是沿着方向的微小增量。（千万不要以为，沿着方向的温度梯度是）；沿着方向的温度梯度：，写成的形式，就容易理解了。注意分母是什么？对着上面的图看一看，就理解了。再根据能量守恒，就可以得出球坐标系下的导热微分方程：参考文献[1]传热学，韩风双，百度文库资料；[2]热应力，严宗达，王洪礼，高等教育出版社。