常微分方程数值解(3)

《常微分方程数值解(3)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第七章常微分方程数值解§1引言一一阶初值问题解的存在唯一性一阶常微分方程初值问题（*）其中是平面某一区域D上的连续函数，如果，满足存在，并满足方程那么是初值问题（*），在上的解。对于（*）是否有唯一解？对还要附加一些条件。定义如果存在正常数，使得对任意有则称满足Lipschitz条件，L称为Lipschitz常数。如果，那么有导数有界Þ满足Lipschitz条件如果存在常数，使得对一切及有59则称对满足Lipschitz条件。同理，只要f(x,y)对y的偏导数有界，则f(x,y)满足对y的Lipschitz条件。

2、定理（存在唯一性），设是在上的连续函数，而且对满足Lipschitz条件，则对任意，初值问题（*）在上存在唯一的连续可微解。二本章研究的问题例1，满足微分方程和初始条件的解是y(x)=，无法给出具体表达式。为了对初值问题进行求解，一些简单问题有解析解，大量非线性问题没有解析表达式，就是线性问题也不一定有解析解，因此，近似求解和数值求解常微分方程是非常必要的。1初值问题数值解基本概念已知(1.1)满足（1.1）的解是过点（的一条曲线y(x)首先对连续区间离散化为常数。离散点是等矩的也可以是不等距的，下面仅讨论等距情

3、况。为方便起见：59把在处的精确值记为，其近似值用表示(1.2)方程（1.2）叫差分方程这种求微分方程近似解的过程称为步进式的方法，计算若用到前面不止一个信息量，叫多步法。59，即这一步的公式误差。综上所述，求微分方程数值解需要处理以下几个问题：1把微分方程（连续的）离散化为差分方程（离散的）2用差分方程和初始条件计算出微分方程数值解3有关理论（1）误差，局部截断误差，主局部截断误差，阶（2）收敛性（3）稳定性（绝对稳定性）本章讲授的内容：1单步法：显示Euler方法，隐式Euler方法，梯形方法，改进Euler

4、方法，Rung-kutta方法2单步法的收敛性，稳定性，相容性3线性多步法三预备知识1一元Taylor多项式y592二元Taylor多项式k)f(x,y)+,=3数值积分4Lagrang插值§2简单数值方法已知(2.1)（I）显式Euler方法（也称为Euler方法）Euler方法是求常微分方程初值问题的最简单办法。上节的公式(1.2)就是显示Euler方法59(2.2)问题：要从(2.1)离散化得到(2.2)还有什么办法？1数值积分方法把（2.1）写成如下形式：(**)用左矩形公式近似左边积分,用得到结果(2.

5、2)2Taylor展开方法略去高阶项即59设是初值问题的解，那么有从而有用近似值由此得出公式（2.2）3数值微分方法称为差商，即用差商近似微商，也得出：由此得出公式（2.2）当已知时，可由公式（2.2）简单地求出，方法为显式的，由上的近似值可求出上的近似值，称为单步公式，（2.2）称为显式Euler方法也称为Euler方法。（II）隐式Euler方法（也叫后退Euler方法）数值积分方法对(**)公式右边积分用右矩形积分公式得到(2.3)也可用Taylor展开方法略去高阶项，并设是初值问题的解，则有59即写为同样

6、用的近似值代入有(2.3)的右端含有，一般，不能直接由（2.3）得出，这种方法是隐式的。（2.3）称为隐式Euler方法。该方法也可用数值微分方法得出。（III）梯形方法在上对上式进行积分有等式右边积分采用梯形公式近似有用来代替就得到（2.4）（2.4）称为梯形公式(IV)用公式做计算显示Euler公式由，但是，对于（2.3）、（2.4）是隐式公式，不能由直接计算出59，而是要解方程，一般用迭代方法，以（2.3）为例，取，或用显式公式求出作为，即。当时，取这样方法称为迭代法下面考虑迭代收敛性：当收敛；称为迭代收敛

7、条件对于梯形公式（2.4），由于等式右边含有，因而是隐式方法。用它们来求时必须解方程，一般用迭代求解。取，迭代公式为同样，当时，取；仿隐式Euler方法推导，梯形公式迭代收敛条件为例1已知59取计算到解：用Euler方法把代入有梯形方法把代入有由于是线性方程，可把隐式方法显式化，因此不用进行迭代Euler方法与梯形方法计算结果比较：从数值结果看出，梯形公式比Euler59公式好，但一般梯形公式需要进行迭代，因此做一步费时；对于“计算效率”的比较，应从精度，耗机时等方面进行比较，还应从实际对精度要求来考虑。（V）予

8、估一校正方法为了消除迭代，出现了予估一校正的方法，先给出粗糙估计，然后再给出稍精确的求解，这是微分方程数值解常用方法。改进Euler方法予估校正或写成（2.5）这公式称为改进的Euler公式，其精度比Euler公式好，比梯形公式稍差些，但是，它是显示方法。例2用Euler方法和改进Euler方法解初值问题。步长取；由0计算到3。方程准确解是解：Euler方法改进Euler