利用空间向量解立体几何问题

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1、利用空间向量解立体几何问题1、线面垂直第14页共14页别解：本题还可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行11.（2009安徽卷理）如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.第14页共14页（I）求二面角B－AF－D的大小；（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B

2、-AF-D的大小等于。14.（2009江西卷文）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离．解：方法（一）：第14页共14页（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ

3、∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以就是与平面所成的角，且所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则

4、DM

5、就是D点到平面ABM距离.因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为.（3）设所求距离为，由，得

6、：25.（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，第14页共14页，点在侧棱上，。（I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。（同理18）（Ⅰ）设，则，，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，第14页共14页∴二面角的大小。线面角1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和

7、平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为，斜线和平面所成角的取值范围为.第14页共14页4.二面角：二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是射线，为垂足，则叫做二面角的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂

8、直的平面.二面角的取值范围为.(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角.(2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式其中为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向

9、量，利用公式求出平面角或其补角的余弦值，再数形结合确定二面角的大小1、正方体中求二面角A1-BD-C1的大小第14页共14页第14页共14页第14页共14页45°异面直线成角（1）异面直线、所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引∥，∥，则，所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围：。求法：①把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。②运用向量：在直线上取两

10、点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。第14页共14页例3、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：平面，，又，由平面几何知识得：（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，，，，又，四边形是平行四边形。，是的中点，且，又，为直角