平面几何中的向量方法学案(人教a版必修

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1、高一必修四教学合案备课人：年月日2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法学习目标运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.重、难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.自主学习1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔__________⇔________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向

2、量垂直的等价条件：a⊥b⇔____________⇔________________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝________________＝________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：

3、a

4、＝____________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为________，法向量为__________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________．在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和

5、等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．对点讲练利用向量证明平行问题例1　如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.第8页共8页高一必修四教学合案备课人：年月日回顾归纳　(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．变式训练1　△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.利用向量证明垂直问题例2　如图所示，在平行四边形A

6、BCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求的值．回顾归纳　利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练2　已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.直线方向向量的应用例3　在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．第8页共8页高一必修四教学合案备课人：年月日回顾归纳　直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，

7、法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练3　在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且

8、

9、＝2，则＝________.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

10、，则就是直线l的一个方向向量，λ(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).课时作业一、选择题1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)A．2B.C．3D.2．点O是三角形ABC所

11、在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点3．如图，非零向量＝a，＝b且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ等于(　　)A.B.C.D.4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足

12、－

13、＝

14、＋－2

15、，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)第8