高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理教案1 新人教a版必修5

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1、1.1.2余弦定理一、教材分析“余弦定理”是人教A版数学必修5的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延续。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。二、学情分析：本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。但总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不够深入，知识的系统性不强，使得学生在余弦

2、定理推导方法的探求上存在一定的难度。三、教学目标1.知识与技能：（1）了解向量法证明余弦定理的推导过程；（2）掌握余弦定理的两种表示形式及其与勾股定理之间的联系；（3）会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。（4）会利用有关知识判断三角形的形状。2.过程与方法：（1）利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，体会向量知识的数学学习中的工具性作用，使学生了解运用向量方法解决相关数学问题的基本思路，提高学生对向量知识的重视程度。（2）通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题的方法，体会正弦定理和余弦定理在解三角形问题中的优缺点；（3）由已知三边求三角问题推导归纳出判断三角形形状一般方

3、法，使学生在交流探讨中提升数学素养，体会由特殊到一般，由整体到局部的过程，培养学生的化归思想、整体思想、类比思想等数学思想方法。3.情感态度与价值观：（1）通过实际问题引入，帮助学生发现生活中的数学问题，让学生感悟数学的美，提高学生对数学的学习兴趣，培养学生用数学方法解决实际问题的能力；（2）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的能力；通过三角函数、余弦定理、正弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。四、重点难点1.重点：余弦定理的推导过程及其基本应用；2.难点：灵活运用余弦定理解决相关问题。五、教学过程Ⅰ.温故知新：1.什么叫正弦定理？在一个三角形中，各

4、边和它所对角的正弦值的比相等，且等于该三角形的外接圆的直径，即2.正弦定理可以解哪几类的三角形问题？（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边所对的角（进而求出其他的边和角）。Ⅱ.问题引入因某种实际需要，需测量图中A、B两点间的距离，如何测量？实际测量中，测量人员在图示位置取点C，用皮尺测得AC=b，BC=a,∠ACB=。此时测量人员可以得到AB的长度。问：如何计算AB的长度？实际问题数学化：在△ABC中，已知边AC、BC及∠C，求AB.上节课的最后，我们用正弦定理试求此类问题，发现因A、B均未知，所以较难求边c。Ⅲ.讲授新课【探索研究】由于涉及边长问

5、题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图1，设，，，那么，则CB从而(图1)同理可证于是得到以下定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即则，我们引入中要求的AB的长为：思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：2.余弦定理的推论：余弦定理能解决的问题：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边（余弦定理）②已知三角形的三条边就可以求出其它角（推论）思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

6、形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。【例题讲解】例1．在ABC中，已知，，，求解三角形解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∵B∈（00，1800）∴∴注：解法一我们可考虑cosB和cosC哪个更容易求，求cosC的过程中分母中没有加号，其实比较好求，但不是特殊角，我们较难判断角C的角度，于是改为先求其他的角，即角B。解法二：∵又∵∴∴＜，即＜＜∴∴注意：解法二应注意确定B的取值范围。思考：在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理

7、，也可以用正弦定理，这两种方法有什么利弊呢？用余弦定理可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂。用正弦定理计算相对简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小。一般我们用正弦定理计算较小的角，避免讨论。练习：在ABC中，已知，解三角形。例2．在ABC中，已知，，，解三角形。（课本P7例4）解：由余弦定理的推论得：cos∵A∈（00，1800）；cos∵B∈（00，1800）；学生自学例2