导数与函数的单调性极值最值(竞赛

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1、导数与函数的单调性、极值、最值、应用班级姓名复习：；；；；；；；．知识点一：导数与函数的单调性一般地，设函数在某个区间内有导数，若在该区间内，则函数在该区间内是增函数；若在该区间内，则函数在该区间内是减函数．例1．判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）．要点：用导数求函数单调区间的三个步骤：①求函数的定义域与导数；②令，解不等式得的范围即为增区间；③令，解不等式得的范围即为减区间．问题1：若在某个区间内恒有，则函数有什么特性？例2．已知导函数有下列信息：①当时，；②当，或时，；③当，或时，；试画出函数图像的大致形状．9例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的

2、体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．练习1．判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．练习2．求证：函数在内是减函数．知识拓展一一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图，函数在9或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．知识点二：导数与函数的极值问题2：如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？观察：

3、函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都，；且在点附近的左侧0，右侧0；类似地，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都，；而且在点附近的左侧0，右侧0．定义：我们把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．极值反映函数在某一点附近的，刻画的是函数的注意：①函数的极值（填：是，不是）唯一的；②一个函数的极大值是否一定大于极小值；③极值点一定出现在区间的（内，外）部，区间的端点（能，不能）成为极值点．④极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点？比如：函数在处的导数为，但它（是

4、或不是）极值点．即：导数为0是点为极值点的条件．例4．求函数的极值．9要点：求可导函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格；检查在方程根左右的值的符号，若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若左右不改变符号，则在这个根处无极值．例5．已知函数；（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图像．练习3．求下列函数的极值：①；②；③；④．9知识拓展二函数在某点处不可导，但有可能是该函数的极值点；由些可见：“有极值但不一定可导”．知

5、识点三：导数与函数的最值一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．观察：上图的极大值点，为极小值点为；最大值为，最小值为．注意：1．最值是比较整个定义域内的函数值得出的；极值是比较极值点附近函数值得出的．2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的条件．3．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而极值可能不止一个，可能一个没有．例6．求函数在上的最大值与最小值．例7．已知，，是否存在实数、，使同时满足下列两个条件：①在上是减函数，在上是增函数；②的最小值是1；若存在，求出、，若不存在，说明理由．9例8．设，函数在区间上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式．要点

6、：设函数在上连续，在内可导，则求在上的最值的步骤如下：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值．练习4．设为常数，求函数的最大值．练习5．已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．知识拓展三9利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因此我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通．令得到方程的根，，，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．故导数法与函数的单调性结合，也可以求最值．知识点四：生活中优化问题举例例9．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起

7、（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例10．班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为，上、下两边各空，左、右两边各空；如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？练习6．如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为，为使所用材料最省，底宽应为多少？9要点：①解有关函数最大值、最小值的实际问题，需