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1、注意：下次上课千万别缺课，内容重要。预习幂级数注意：通项极限不是零级数发散。即发散.不能推出收敛。例发散，但.§7.4任意项级数，绝对收敛教学目的：弄清交错级数的概念，掌握莱布尼茨判别法；掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，能灵活正确运用各种判别法判断所给级数的敛散性.重点：掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，并能灵活正确判断所给级数的敛散性.难点：灵活正确判断所给级数的敛散性.教学方法：讲练结合教学过程：本节将讨论不限制项的正负的级数------任意项级数.一、交错级数及其敛散性1.【定义】形如＝或＝的级数称为交错级数.其中,（）.2.【定理7.10】(莱布
2、尼茨定理):设为交错级数,若满足(1),（）；(2),则13收敛,且级数和,其余项的绝对值.证明:(1)记为级数的部分和.考察级数.由于有可见单调上升且有上界,由极限存在准则知∴.(2)即不论是奇数还是偶数,当时,总有,∴故收敛.(3)注意到级数也满足本定理的两个条件,∴例1(1)证明级数是收敛的,并估计误差.证明令由于且,,故原级数收敛.（由莱布尼茨定理知）且其和,其误差为.（2）判断级数的敛散性.解因为,13,由于,由莱不尼兹定理知原级数发散.练习：判断下列级数的敛散性（1）（收敛，可以证明时，）（2）（收敛）（3）（收敛）二、绝对收敛与条件收敛1.【定理7.11
3、】对于任意项级数,若收敛，则收敛.（反之不然.）证明因,又因为收敛，所以由正项级数的比较判别法知收敛.由,且、均收敛故收敛.反之不然.例如收敛,但发散.2.【定义】(1)若收敛；则级数收敛且绝对收敛.(2)级数收敛，但发散,则收敛且条件收敛.13例如:而级数条件收敛;级数绝对收敛,级数绝对收敛.3．【定理7.12】如果任意项级数满足条件或,则(1)若,级数收敛，且绝对收敛.(2)若,级数发散.证明时，正项级数收敛收敛.当时,时，发散.例2判断下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）故原级数收敛且绝对收敛.13（2）因为所以对，原级数收敛且绝对收敛.由
4、上两题得重要结论：.（3），当时，原级数收敛且绝对收敛；当时，原级数发散.当时，级数成为调和级数，它是发散的；当时，级数成为，它是条件收敛的级数.（4），当时，原级数收敛且绝对收敛；当时，原级数发散.其中时，级数通项的极限不为零.例3判断下列级数的敛散性（1）解因为且级数收敛,由正项级数的比较判别法知级数收敛,故原级数收敛且绝对收敛.（2）13解，,所以收敛，故原级数绝对收敛.另解:,收敛原级数绝对收敛.练习:(1)判断敛散性.提示因为,级数收敛原级数收敛且绝对收敛.（2）：原级数绝对收敛.（3）：原级数绝对收敛.(4)：，13且为收敛的P－级数，所以原级数收敛且绝对
5、收敛.（5）：发散，所以发散.又令，，即在上单调递减，即时级数满足,（），故原级数条件收敛.（）例4(88.3)设级数与均收敛,求证（1）绝对收敛.（2）收敛.（3）收敛.证（1）因为,且与均收敛,所以收敛,由正项级数的比较判别法知收敛13故收敛且绝对收敛.（2）因为级数与均收敛,又由（1）知收敛，又由得收敛.（3）由于，级数与均收敛收敛.再由正项级数的比较法得级数收敛.提问:（1）下列级数条件收敛的有().(a)(b)(c)(d)分析发散.绝对收敛.答案（a）.（2）下列级数绝对收敛的有().(a)(b)(c)(d)13答案（c,d ）.（3）下列级数发散的有()(
6、a)(b)(c)(d)答由莱不尼兹定理可知收敛不选(a),由知发散选(b),由收敛知绝对收敛不选(c),由知收敛不选(d).（4）(94.3)设常数,而级数收敛,则级数（）.(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关.答 (C).因为,由题设知收敛,又收敛,则原级数收敛且绝对收敛.(5)级数收敛，则级数（B）（A）条件收敛.(B)绝对收敛.(C)发散.(D)敛散性不定.解收敛，13收敛，所以收敛，且绝对收敛.（6）(06.4)若级数收敛,则级数()(A)收敛(B)收敛(C)收敛(D)收敛答(D).由收敛可知收敛,所以收敛.例5判断下列级数的敛散性（1）讨
7、论级数的敛散性.提示：收敛正项级数收敛.（2）判别级数的敛散性.且收敛收敛.（3）解：令又级数收敛，所以正项级数收敛.(4)13解该级数为,由,且发散知原级发散.(5)解 ,而,该级数发散.(6)解由于,是一个公比为的收敛几何级数，所以由正项级数的比较判别法可知原级数收敛.（7）.解令，因为级数收敛，故级数收敛.另解：令原级数收敛.（8）.解：，所以正项级数收敛，13故原级数收敛.练习：判定下列级数哪些是绝对收敛,哪些是条件收敛:(1)解因为,又,有,而调和级数发散,由比较判别法可知级数发散,但由于,且,由莱不尼兹定理知级数收敛,故原级数条件收敛.(
