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1、第1讲 平面向量的概念及线性运算【2013年高考会这样考】1.考查平面向量的线性运算.2.考查平面向量的几何意义及其共线条件.【复习指导】本讲的复习,一是要重视基础知识,对平面向量的基本概念,加减运算等要熟练掌握,二是要掌握好向量的线性运算,搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别. 基础梳理1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方
2、向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.(7)位置向量:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段=a,则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,这时向量,又常叫做点A相对于点O的位置向量.2.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)3.向量求和的多边形法则已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为
3、终点的向量叫做这n个向量的和向量.4.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:①
4、λa
5、=
6、λ
7、
8、a
9、;②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.5.平行向量基本定理如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb.6.轴上向量的坐标及其运算(1)给定单位向量e,能生成与它平行
10、的所有向量的集合{xe
11、x∈R}.这里的单位向量e叫做轴l的基向量,x叫做a在l上的坐标(或数量).x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反方向时,x是负数.(2)轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.一条规律一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共
12、线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.双基自测1.(人教B版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于( ). A.-+B.--C.-D.+解析 如图,=+=+=-+.答案 A2.判断下列四个命题:①若a∥b,则a=b;②若
13、a
14、=
15、b
16、,则a=b;③若
17、a
18、=
19、b
20、,则a∥b;④若a=b,则
21、a
22、=
23、b
24、.正确的个数是( ).A.1B.2C.3D.4解析 只有④正确.答案 A3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式
25、中成立的是( ).A.=+B.=-C.=-+D.=--解析 =+=-.答案 B4.(2011·四川)如图,正六边形ABCDEF中,++=( ).A.0B.C.D.解析 ++=++=+=.答案 D5.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=________.解析 由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:∴k=,λ=-.答案 - 考向一 平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( ).A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
26、D.有相同起点的两个非零向量不平行[审题视点]以概念为判断依据,或通过举反例说明其正确与否.解析 由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以B不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假设a与b不都是非零向量,即a与b中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知a与b共线,符合已知条件,所以有向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,故选C.答案 C解决这类与平面向
27、量的概念有关的命题真假的判定问题,其关
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