平面向量的数量积(2)(1)

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1、第3讲平面向量的数量积【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本节复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，把握数量积的特征和作用，学会应用．重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角→→已知两个非零向量a和b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与

2、b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

15、a

16、cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

17、a

18、·

19、b

20、；当a与b

21、反向时，a·b＝－

22、a

23、

24、b

25、，特别的，a·a＝

26、a

27、2或者

28、a

29、＝a·a；a·b(4)cosθ＝；

30、a

31、

32、b

33、(5)

34、a·b

35、≤

36、a

37、

38、b

39、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

40、a

41、＝x221＋y1；x1x2＋y1y2(3)cos〈a，b〉＝；x22221＋y1x2＋y2(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.→227．

42、若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝a，则

43、a

44、＝x1－x2＋y1－y2(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这

45、是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．→→(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知

46、a

47、＝3，

48、b

49、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．ππA.B.342π3πC.D.34a·b－312π解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.

50、a

51、

52、b

53、3×223答案C2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b

54、)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案D3．已知m∈R，a＝(m,1)，若

55、a

56、＝2，则m为()．A．1B.3C．±1D．±3解析由

57、a

58、＝m2＋1＝2，得m＝±3.答案D4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．A．9B．4C．0D．－4解析a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.∴x＝9.答案A5．(2011·福建)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝________.解析a·b＝1×(－1)＋

59、1×2＝1.答案1考向一求两平面向量的数量积→→→【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，

60、AM

61、＝1，AP＝2PM，→→→则PA·(PB＋PC)＝________.→→→[审题视点]由M是BC的中点，得PB＋PC＝2PM.→→→→→→解析如图，因为M是BC的中点，所以PB＋PC＝2PM，又AP＝2PM，

62、AM

63、＝→→→→→→24→2441，所以PA·(PB＋PC)＝PA·2PM＝－4

64、PM

65、＝－

66、AM

67、＝－，故填－.9994答案－9当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的

68、向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平