有理函数的积分(1)

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1、第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解1．求下列不定积分：⑴；【解】先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：令，去分母，得，----*下面用特殊值代入法确定待定系数，，：将代入*式，得，将，代入*式，得，将，代入*式，得，由解得，，于是得，从而积分得⑵；【解】先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：令，去分母，得，----*下面用特殊值代入法确定待定系数，，：将代入*式，得，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解将代入*式，得，将，和代入*式，得，得,于是得，从

2、而积分得⑶；【解】被积函数为分子是常数，分母是无根二次多项式，为基本可积有理函数，配型为即可解之：，于是得----⑷；【解】先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：令，去分母，得，----*下面用特殊值代入法确定待定系数，，：将代入*式，得，将代入*式，得，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解将和代入*式，得，整理得，等号两端去掉因式，得----**由多项式相等条件，得，将代入**式，得，于是得，从而积分得⑸；【解】先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：由于被

3、积函数的分母中的两个因式均无零点，即令去分母，得----*下面确定待定系数，，，：【解法一】用解方程组法展开*式右边，得，由多项式相等条件，得，⑶－⑴得，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解⑵－⑷得，将代入⑷得，将代入⑴得，【解法二】用特殊值代入法——虚数代入法将代入*式，得得，亦即，可得，，将，代入*式，得，等号两端去掉因式，得，由多项式相等条件即得，，于是得，从而积分得11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解⑹；【解】易见，先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：由于

4、被积函数的分母中的两个因式均无零点，即令去分母，得---*下面用特殊值代入法确定待定系数，，，：将代入*式，得，即有，将代入*式，得，即有，将代入*式，得，对比得，，于是有，从而积分得⑺；【解】由于被积函数中含有根式，且根指数与根号内多项式的次数不相等，应作直接变换，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解令，则，，于是，该积分转化为有理函数的积分：⑻；【解法一】由于，被积函数中含有根式，且很指数与根号内的多项式次数同为2，应作三角变换，令，，则，，，于是，该积分为：【解法二】由于被积函数中含

5、有根式，可作第二换元积分法中的直接变换，令，则，，于是有，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解其中，的积分过程如下：令，，则，，得从而，【经求导检验，有，知解法二正确。】⑼；【解】利用万能变换，这样使变换后的分子成为，恰为的导数，从而为应用第一换元做好了准备：11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解得，即有这时，令，得⑽；【解】应利用万能变换，这样使变换后的分子成为，恰为的导数，从而为应用第一换元做好了准备：得，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解即有，这时，令，得⑾；【解法一

6、】由于的倒数正为，而恰为的导数，从而为应用第一换元做好了准备：得令，即得11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解【经求导检验，有，知答案正确。】【解法二】将转换为，利用的倒数正为，而恰为的导数，从而为应用第一换元法做好了准备：由于得⑿。【解】同上方法类似，由于，11第4章不定积分4.4有理函数的积分习题解得11