平面解析几何初步复习(北师

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1、平面解析几何初步复习知识梳理：（一）平面直角坐标系中的基本公式主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。（二）直线的方程1.直线的方程和方程的直线若直线l的方程记为，则需满足两条：（1）直线l上的每一个点，其坐标都是方程的解；（2）坐标满足方程的点都在直线l上。2.直线的方程（1）直线方程的几种特殊形式直线方程的点斜式、斜

2、截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式。在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式。与直线的截距式有关的问题：①与坐标轴围成的三角形的周长；②直线与坐标轴围成的三角形的面积为；③直线在两坐标轴上的截距相等，则k＝－1，或直线过原点。（2）直线在坐标轴上的截距直线的斜截式方程和截距式方

3、程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数。如直线y＝3x－6在y轴上的截距是－6，在x轴上的截距是2。因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为①零等；②非零等这两种情形进行讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为①零等；②同号等；③异号等这三种情形进行讨论，以防丢根。3.两条直线的位置关系对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直。因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究两条直线的平行和垂直，遵循了由一般

4、到特殊的原则。4.点到直线的距离解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点（定点）或直线（定直线）相对位置关系。点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不可替代的作用。熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度。5.圆的方程圆的标准方程和一般方程中都有三个独立的参数，因此，要确定一个圆必须具备三个独立的条件，确定这三个参数的方法一般要用待定系数法。6.空间直角坐标系为了沟通空间图形与数的关系的研究，我们需要建

5、立空间的点与有序数组之间的关系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。用坐标来刻画空间中点的位置，需要建立起较强的空间观念和较强的抽象思维能力，这正是学习空间坐标系的重要目的之所在。【典型例题】例1.如图所示，已知两条直线l1：x－3y＋12＝0，l2：3x＋y－4＝0，过定点P（－1，2）作一条直线l，分别与直线l1、l2交于M、N两点，若点P恰好是MN的中点，求直线l的方程。解析：设所求直线l的方程为，由得交点M的横坐标为，由得交点N的横坐标为，∵点P恰好是MN的中点，∴，解得。∴所求直线l的方程为。例2.圆与y轴相切，圆心在直线x－3y

6、＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为，求此圆的方程。解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为又因为直线截圆得弦长为则有解得b＝±1。故所求圆方程为或。点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a,b,r或D,E,F。（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。例3.已知圆C：，直线l：＝0（）。（1）证明：无论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程。解析：（1）直线l的方程化为

7、：。因此，直线l过两条直线和的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A（3，1），即直线l恒过定点A（3，1）。又因，故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点；（2）圆心为C（1，2），当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，由可得，因此直线l的方程为。点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。这些做法的过程都非常复杂。因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使

8、问题的解决事半功倍。例4.自点A（－3,3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。解