数列与函数的极限(2)

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1、数列与函数的极限（1）一、知识回顾1、数列极限定义（1）定义：设{an}是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n>N，就有

2、an-a

3、<ε，那么就称数列{an}以a为极限，记作an=a。对前任何有限项情况无关。*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a的ε邻域；极限定义中的不等式

4、an-a

5、<ε也可以写成a-ε

6、(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{an}的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{an}的项是多么稠密地分布在点a的附近。2、几个常用极限①C=C（常数列的极限就是这个常数）②设a>0，则特别地③设q∈(-1，1)，则qn=0；或不存在。若无穷等比数列叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：3、数列极限的运算法则如果an=A，bn=B，那么(1)(an±bn)=A±B(2)(an·bn)=A·B(3)=(B≠0)极限不存在的情况是1、；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….注意：数列极限运算法则运用的前提:(1)参与运算的各个数列均

7、有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用.二.基本训练1、=；=2、=_________________3．已知a、b、c是实常数，且的值是………（）A.B.C.D.64．已知a、b都是实数，且a>0，如果，那么a与b的关系是………………（）A.a<2bB.－a<2bC.－a1,前项和Sn满足，那么a1的取值范围是……………………（）（A）（1，＋∞）（B）（1，4）（C）（1，2）（D）（1，）6.等比数列｛an｝中，a1=－1,前n项和为Sn，若则………………………（）（A）（B）－（C）

8、2(D)－2三、例题分析例1求下列极限(1)(-)(2)[(-)](3)(+++…+)(4)(a≠1)例2：已知=5，求常数a、b、c的值。例3．设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn和an的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠―1（1）求an和an－1的关系式；（2）写出用n和b表示an的表达式;（3）当0

9、保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？备用:某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地。但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地的面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a。又知每亩水面的年平均经济收益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均经济收益为c元（其中a，b，c均为常数）。若按

10、原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值。(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？解析：(1)收入不小于支出的条件可以表示为：cx-(ax2+bx)≥0即ax2+(b-c)x≤0，x[ax-(c-b)]≤0当c-b≤0时，≤x≤0，此时不能填湖造地当c-b>0时，0≤x≤，此时所填面积的最大值为亩。(2)设该县现有水面为m亩，今年填湖造地的面积为x亩，则x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…+(1-1%)nx+…≤不

11、等式左边是无穷等比数列的和，故有≤，即x≤=0.25%m今年填湖造地的面积最多只能占有水面的0.25%。[思维点拔]此列应用数极限解决实际问题。三、课堂小结1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。2、极限运算最终转化为qn=0(

12、q

13、<1)，=0，C=C(C为常数)3、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用，尤其要注意公式S=的运用。四、作业1．已知a、b是互不相等的正数，则A.1B.－1或1C.0D.－1或02．an是(1+x)n展开式