考研高数冲刺讲义

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1、2011考研冲刺班高等数学讲义主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材本页取消目录第一章函数、极限、连续1§1.1函数1§1.2极限3§1.3连续9第二章一元函数微分学10§2.1导数与微分10§2.2微分中值定理13§2.3导数的应用16第三章一元函数积分学18§3.1积分的概念与计算18§3.2有关变上（下）限积分和积分证明题21§3.3定积分的应用23第四章多元函数微分学24§4.1偏导数与全微分24§4.2多元函数的极值27第五章二重积分30第六章常微分方程33§6.1一阶微分方程33§6.2特殊的高阶微分方程35第七章

2、无穷级数(数学一和数学三)38§7.1数项级数38§7.2幂级数39§7.3函数展开成幂级数41§7.4　傅里叶级数（数学一）44第八章　向量代数与空间解析几何（数学一）44第九章　三重积分、曲线积分、曲面积分（数学一）47§9.1三重积分47§9.2曲线积分48§9.3曲面积分51附录：一、选做题55附录：二、选做题的解答60序言：数学一和数学二要考高等数学；而数学三要考微积分。它们大部分内容和要求是相同的，但又有一部分内容和要求是不同的。所以，我们讲授的方法是先讲共同要求的部分，然后再讲不同需求的部分。安排如下：第一章函数

3、、极限、连续……………………………………1(全体要求)第二章一元函数微分学………………………………………10(全体要求)第三章一元函数积分学………………………………………18(全体要求)第四章多元函数微分学………………………………………24(全体要求)第五章二重积分………………………………………………30(全体要求)第六章常微分方程……………………………………………33§6.1一阶微分方程(全体要求)§6.2特殊的高阶微分方程(全体要求)(数学二结束)第七章无穷级数………………………………………………38§7.1数项级数(数学

4、一、数学三要求)§7.2幂级数(数学一、数学三要求)§7.3把函数展开成幂级数(数学一、数学三要求)(数学三结束)§7.4傅里叶级数(数学一要求)第八章向量代数与空间解析几何(数学一要求)…………44第九章三重积分、曲线积分、曲面积分(数学一要求)…47(数学一结束)附录：一、选做题二、选做题的解答……………………55第一章函数、极限、连续§1.1函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1.口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2.在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算

5、导数正与负例1求解是奇函数，∵是奇函数，∵因此是奇函数。于是。例2设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解(B)不成立，反例38(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明为奇函数，所以，为偶函数。例3设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A)(B)(C)(D)解∵，∴单调减少于是x

6、则，因此于是，38§1.2极限一、有关无穷小量1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；2.等价无穷小代换；3.无穷小的阶的比较。例1求解原式例2设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于(A)1(B)2(C)3(D)4解：，由题意可知，4>n+1>2，∴n+1=3,n=2选(B)例3设，则当x→0时，是的()(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解，选(C)二、有关两个准则准则1单调有界数列极限一定存在。准则2

7、夹逼定理。例1设，，证明存在，并求其值。解∵，∴(几何平均值≤算术平均值)用数学归纳法可知n>1时，，∴有界。又当n>1时，∴，则单调增加。根据准则1，存在38把两边取极限，得(舍去)得，∴。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2求解：而，由夹逼准则可知原式=1三、有关两个重要公式公式1、公式2、；；例1求。解当x=0时，原式=1当x≠0时，原式===(∵)例2设在内可导，且，，求c的值。38解则拉格朗日中值定理，有其中ξ介于(x-1)与x之间，那么于是，e2c=e,2c=1，则口诀(

8、4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限：“”型，“”型，“0·∞”型，“∞-∞”型，“1∞”型，“00”型和“∞0”型口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。第一层次：直接用洛必达法则“”型用洛必达法则Ⅰ“”型用洛必达