从logistic模型走向混沌

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1、实用标准文案从Logistic模型走向混沌为进一步了解混沌的意义，我们考虑离散动力系统这是一个差分方程.微分方程通过差分化可化为差分方程.种群(昆虫)模型中按代计算其种群数(虫口数)而两代之间不重迭时便可用差分方程表示，此时其模型又称为虫口模型.最简单的虫口模型是Logistic方程（*）这是一个单参数离散动力系统，如图函数有两个不动点.如有，称为不动点，当而互不相等时称为周期n点.易证明当时不管初值如何方程的解即时的点均收敛于不动点.而当时初值的方程(6.60)的解收敛于两个周期2点.因此为方程(6.60)精彩文档实用标准文案的分支点.随着

2、的逐渐增大，方程(6.60)从两个周期2点变为四个周期4点，再八个周期8点，等等.这种逐步加倍的分支称为倍分支.用计算机可绘出方程(6.60)的参数与周期点关系的倍分支图，如图(6.35).当时方程(6.60)出现混沌解.可能不收敛于任何点，到处游荡，是一个奇异吸引子.且存在对初值的敏感性.精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案对线段上的连续映象，李天岩和York曾给出著名的“周期3蕴涵混沌”的定理（Li-York混沌定理）设是一个区间,连续.如中有一点,使,满足或(6.61)则对

3、每一个，在中有的一个周期的周期点.且中有一个不含周期点的不可列集,满足(A)对中的每两个有.(B)对中的每一个及中的周期点有Li-York定理给出了混沌的严格数学定义.后来人们就把满足Li-York定理结论的集合称为Li-York混沌集.后来发现,可以将相空间中Lorenz方程的轨线通过Pocincare映射映射为平面上的,而进一步可分解为精彩文档实用标准文案.而满足线段映射存在混沌的Li-York定理条件,如图(6.36)所示,从而说明Lorenz方程存在混沌.图(6.36)Lorenz方程的Poincare映射李天岩和York首先给出了混

4、沌的数学定义，但仅对线段映射而言.后来又出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的系统，如Henon映射、强迫Duffing方程等.同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、社会科学中的混沌.由Lorenz方程引发的混沌的概念出现后，人们发现已在早期研究过的KAM定理、Smale马蹄、Melnikov定理中亦存在混沌，这是与Li-York混沌不同的另一类型的混沌.后面将接着进行介绍(见§6.6).C.典故(8)Lorenz吸引子精彩文档实用标准文案E.N.Lorenz毕业

5、于麻省理工学院(M.I.T.)气象系，1948年起在M.I.T.做博士后工作，主要兴趣在全球和大陆尺度的大气结构动力学.1955年得到了M.Thomas辞职而空缺的位置和科研项目.项目是用计算机统计天气预报，当时用的是线性统计方法.他接手后提出用不是线性类型的方程组进行检验.选择了大大简化被滤波的数值天气预报方程式，并购买了内存为4k32bi字长的小型计算机，一次乘法约17ms,打印一行数字约10s.开始时选择14个变量的方程组，经压缩又压缩，最后变成12个.参数中包含驱动模式天气所需要的外热源的强度和分布，这样可以改变参数进行试验.但总是出

6、现毫无用处的稳定状态.经多次试验后，最后发现了一个解，它明显地模拟出在用水模拟地球空气的转盘实验中所观察到的振荡.这时，他认识到需要一个解是非周期的方程组才可能否定线性预报.这是1959年，他准备将这碰巧找到的一个合适的方程组及其试验结果写成“动力方程组解的统计预报”报告参加在东京举行的数值天气预报会议.在进一步进行试验时，数值方法是以6小时为增量计箅未来天气，4步即1天打印1次12-14个变量值，约1分钟模拟1天.为把打印出的数值排成1行，数值四舍五入到三位数字.有一次，为了更为详细地检查，决定重复某些计算.停机后重新输入再进行计算，他在走

7、廊上喝了一杯咖啡，约1小时，计算机已模拟了1个月的天气.但打印出不同的数值，开始以为是真空管或其他计算机部件坏了.经检查才发现是输入时因舍入误差引起的.从而发现了方程组的解对初值敏感这个混沌现象.1961年到M.Thomas建立的旅行者天气中心访问时，B.Seltzmann告诉他用下面加热产生的对流流体运动的7个方程的方程组的数值解中有一个解稳定不下来，经查看其中4个变量很快变得非常小.他回到M.I.T.，取仅有3个变量的方程组，得到了他长期寻找的系统.这便是Lorenz方程，它并不能非常好地描述实际对流运动，主要说明一个确定性的系统能以最简

8、单的方式表现出非周期的形态.当时是湍流研究的热潮.他以“确定性的湍流”为题投稿《气象科学杂志》，编辑认为方程缺少湍流的性质，改以“确定性的非周期流”发表.由于Lor