空间解析几何(2)

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1、DDY整理 一、平面方程垂直于某平面的非零矢量称为该平面的法线矢量，记作。      点法式方程：已知平面过点，且与非零矢量垂直(法矢量)，求平面方程。在平面上任取一点，作矢量，则，所以有此称为平面的点法式方程。一般式方程：其中：法矢量，截矩式方程：DDY整理        注:三元一次方程表示一个平面。特殊位置的平面方程：（1）过原点（）（2）平行于坐标轴平行于x轴（）  过X轴（）平行于y轴（）  过Y轴（）平行于z轴（）  过Z轴（）（3）垂直于坐标轴垂直于x轴（平行于YOZ坐标面）垂直于y轴（平行于XOZ坐标面

2、）垂直于z轴（平行于XOY坐标面）例1 求过点（6，2，-2）且与平面平行的平面方程。解 所求平面方程法矢量为DDY整理由点法式得        即例2 求过三点的平面方程。  解 作矢量取法矢量       由点法式即。此题也可用下面的方法求解：设平面方程为因平面过、、三点，将三点的坐标代入方程，得DDY整理解出、、、即可。例3 求过三点的平面方程。例4 过点作垂直于两平面和的平面，求此平面方程。解 设为所求平面法向量可取由点法式得即例5 求过点（1，-2，1）且与平面都垂直的平面方程。例6 求平面外一点到该平面的距

3、离。解 在平面上任取一点，作矢量   DDY整理    则如：点（1，-1，2）到平面的距离为二、直线方程平行于某直线L的非零矢量称为该直线的方向矢量，记为对称式方程：已知直线L过点且方向矢量，求此直线方程。DDY整理         在直线上任取一点，作矢量则∥，所以有,此称为直线的对称式方程。注：当中有零时，直线仍可写成对称式形式如应理解为两个平面的交线，即。参数式方程：其中为直线上一点。一般式方程：其中例7 求平行于直线且过点 的直线方程。DDY整理解 所求直线方向矢量所求直线方程为例8 化直线 为对称式方程。解

4、 令z=-5，解方程组得 ,点在直线上。对称式方程为三、两平面、两直线、平面与直线的交角及平行与垂直的条件两平面的夹角：指它们的法矢量间的夹角（取锐角）设 ：    ：  DDY整理的充要条件：，即∥的充要条件：∥，即例9 研究下列各组平面的位置关系（1）与；（2）与；（3）与。解 （1），所以相交，夹角（2）∥平行，但不重合。（因为点在第一个平面上，但不在第二个平面上）。（3）∥平行，且重合。例10 设有两平面，求这两平面的夹角。解 DDY整理  所以例11 设有两平面，如果两平面垂直，则？解  ，两直线的夹角：指它

5、们的方向矢量间的夹角（取锐角）设： ： 充要条件：，即充要条件：∥，即例12 求两条直线与的夹角。DDY整理解 ，所以平面与直线的夹角：指直线与它在平面上的投影直线间的夹角(取锐角)设平面:直线L：    DDY整理的充要条件：∥，即∥的充要条件：,即例13 求直线与平面 的交点和夹角。解 直线的参数方程为代入平面方程解得t=-1，代入直线的参数方程中得交点(1，2，2）例14 求过平面的交线，且与第二个平面垂直的平面方程。解 法一：设所求平面的法线矢量为，由题意过直线将其化为对称式令z=2，解得直线过点(-1，-1，

6、2）DDY整理直线对称式方程为又因为的法线垂直于的法矢量且垂直于点在所求平面上，由点法式得即法二：设所求平面的方程为即注：这是过两平面交线的平面束方程。又垂直于平面，由两平面垂直的充要条件解出，代入上面方程得即DDY整理例15 求过直线且与平面垂直的平面方程。解 设所求平面方程为即因所求平面方程与垂直，所以所求平面方程为即例16 求过点且与平面都平行的直线方程。解 所求直线为例17 求过点及直线的平面方程。解 点在所求平面上，作直线的方向矢量 DDY整理所求平面方程法矢量所求平面方程为即。例18 求过两条直线与的平面方

7、程。解 上的点，上的点均在所求平面上，作所求平面法矢量为，有且可取所求平面方程为即