变量代换求解常微分方程

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1、实用标准文案题目：变量代换求解常微分方程院（系）：理学院专业：信息与计算科学学生：郝腾宇精彩文档实用标准文案摘要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方

2、程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解精彩文档实用标准文案目录一、变量代换法求解一阶微分方程……………………………………………………………3二、变量代换法求解二阶微分方程…………………………………………………………………6三、变量代换法求解三阶微分方程…………………………………………………………………7四、变量代换法求解n阶微分方程…………………………………………………………………7五、变量代换法求解Euler阶微分方程………………………

3、……………………………………9六、变量代换法在研究解或轨线性态中的应用…………………………………………….10七、函数变换法求解常微分方程……………………………………………………………………11八、三角变换法求解常微分方程……………………………………………………………………13九、拉普拉斯变换求解常微分方程………………………………………………………………14精彩文档实用标准文案1变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程，这里是的连续函数，做变量代换，使方程化为变量分离方程，可求解。2)对于准齐次微分方程，这里，，

4、，，，均为常数。①当（常数）时，方程直接化为，有通解：②当时，做变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。③当时，做变换，其中为直线和直线在平面的交点，将方程转化为齐次方程由上式可求解。精彩文档实用标准文案3）对于更一般的类型，这里，，，，，均为常数①当（常数）时，方程直接转化为，有通解；②当时，做变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。③当时，作变换，其中（）为直线和直线在平面的交点，将方程化为齐次方程由上式即可求解。4）对于方程，这里a，b，c均为常数，作变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。5）

5、对于方程，这里m，n，均为常数，作变量变换，将方程化为变量分离方程精彩文档实用标准文案由上式即可求解。6）对于方程，这里为常数，作变量变换，是方程化为变量分离方程由上式即可求解。7）对于方程，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换，化为变量分离方程由上式即可求解。8）对于Bernoulli方程，这里P(x)，Q(x)为连续函数，为常数。当时用乘以原方程两边得作变量代换使方程化为线性微分方程，可求解。9）对于Riccati方程，当R(x)恒为零时，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解

6、；当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程精彩文档实用标准文案由上式即可求解。10）对于一阶非齐次线性微分方程，若Q(x)=0，则方程变为一阶齐次线性微分方程，有通解；若对原方程作变量变换，求得待定函数，代会变换，即得方程的通解。2变量代换法求解二阶微分方程1)对于二阶变系数齐次微分方程（1）设是方程（1）的一特解，变量变换，将方程化为一阶线性微分方程，可求解。2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程（2）当方程（2）满足（为常数）时，作自变量代换

7、（为常数）（3）则方程（3）可化为（4）方程（4）两边乘除以，得精彩文档实用标准文案（5）由于所以，又为常数，由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程。3变量代换发求解三阶微分方程1）考虑三阶变系数齐次微分方程（6）当和时，可作变换，则方程（6）可化为（7）将和代入（7）得到常系数齐次微分方程2）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程（8）其中，都是的已知连续函数，且二次可微，为常数。作自变量变换，则方程可化为精彩文档实用标准文案（9）方程（9）两边同时除以得到三阶常系数线性微分方程4变量代换发求解n阶微分方程1）考

8、虑n阶非齐次线性微分方程（10）设方程（10）对应的n阶齐次微分方程（11）通解为（12）作变量变换，令（13）为（10）的通解。求出特定函数，代入（13），即得（10）的通解。2）考虑常系数非齐次线性微分方程（14）这里是常数，。作变量变换，令，则方程可化为精彩文档实用标准文案（15）其中都是常数。对于方程(15)可采用比较系数