奥数：小学奥数系列：第7讲计数问题第7讲

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1、第17讲计数问题第０７讲计数综合之三　例110只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法?答案66．分析解数学题的一种重要方法是转化，不断地转化，把你不熟悉的问题转化为你熟悉的问题．从10个有差别的橘子中选出3个橘子有多少种选法，这是我们熟悉的问题．我们希望能把原来的问题转化为这种问题．详解把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着，然后在每个盘子里再另加一个橘子，这就变成了把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许任何一个盘子空着．反过来也是一样，把13只橘子放到3个盘子里，不允许任何一个盘子空着，再从每一个盘子中取出一个橘

2、子，这就变回题目中的放法．所以把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目，和把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同．我们现在来计算把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目．把这13只橘子排成一列，则这13只橘子之间有12个空隙．我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，就相当于把这13只橘子分成了3堆，如图17—1．所以只要求出从12个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了．这种题目同学们是熟悉的，就是12×11÷2=66．所以题目中所求的不同的放法有66种．评注这是一道非常典型的题目，同学

3、们应该反复体会这种解法．例2若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少个“上升的”自然数?答案502．分析我们先举几个例子来看看“上升的”自然数是什么样的．12、l23、l234、l２345这些都是“上升的”自然数．初看之下似乎没什么规律，连位数都是不确定的．但如果我们再举一个极端的例子：123456789，我们就可以发现其中的奥妙．详解很明显地可以看出，每个“上升的”自然数都可以由123456789这个数划掉若干个数码得到．反过来，由从123456789这个数中划掉若干个数码得到的至少两位的数都是“上升的”自然数．所以只要算出从

4、123456789中划掉若干个数码所能得到的至少两位的数有多少个就可以了．因为每个数码都有划掉和保留这两种可能，而且得到的一位及零位数只有10个，所以所能得到的至少两位的数有2×2×2×2×2×2×2×2×2—10=502(个)．所以一共有502个“上升的”自然数．例3从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个?答案1246．分析这样的数一个一个地找起来实在太麻烦，要想办法把它们配起对来．详解对于每一个三位数×××来说，在1×××、2×××、3×××和4×××这4个数中恰好有1个数的数字和能被4整除．所以从1000到4999这4000个数中，恰有1000个数的

5、数字和能被4整除．同样道理，我们可以知道600到999这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除，从200到599这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除．现在只剩下10到199这190个数了．我们还用一样的办法．160到199这40个数中，120到159这40个数中，60到88这40个数中，以及20到59这40个数中分别有10个数的数字和能被4整除．而10到19，以及100到1"19中则只有13、17、103、107、112和116这6个数的数字和能被4整除．所以从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有1000+100×2+10×4+6=1246个．例

6、4用剪刀沿图17—2中小方格的边界把4×4正方形格纸剪成形状、大小都相同的两部分，共有多少种不同的剪法?(凡经过旋转和翻转能重合的剪法视为相同的剪法)答案6．分析因为要把正方形剪成形状、大小都相同的两部分，也就是剪成中心对称的两部分，所以剪刀所通过的路径必须通过正方形的中心．我们不妨假设剪刀所剪的路径是水平通过正方形中心的(如果是垂直的话只要把正方形旋转90。就可以了)，如图17—3．很明显，一共有6种剪法，如图17—4所示：例5纸上画有一个4×4的方格表，在它的四条边的旁边分别写有东、南、西、北这四个字．现在要用8个1×2的长方形将它盖住，共有多少种不同的覆盖方法?答案36．分析标上

7、东、南、西、北意味着不必把旋转后相同的覆盖方法视作一样．详解很明显，这8个长方形中，横着放的必然是偶数，竖着放的也必须是偶数个．下面按照有多少个长方形横着放进行分类．①有8个横着放，0个竖着放，这时只有一种放法．②有0个横着放，8个竖着放，这时也只有一种放法．③有6个横着放，2个竖着放，这时竖着放的这两个长方形必须在同两行里，在这两行里只有3种放法：而这两行有3种选择，而且剩下的两行只有1种方法用横的长方形覆盖，所以这时有3×3=9种放法．④有