奥数：五级奥数.计数综合.计数方法与技巧（abc级）.学生版

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1、计数方法与技巧知识结构（1）归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．（2）整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．（3）对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．（4）递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，

2、这种方法称为递推法．例题精讲【例1】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【例1】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【巩固】个三角形最多将平面分成几个部分？【例1】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【例1】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．

3、问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【巩固】在三角形内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【例1】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】用一张如图所示的纸片盖住方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【例1】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【例2】学学和

4、思思一起洗个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【巩固】学学和思思一起洗个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，问学学摞好的碗一共有种不同的摞法。【例1】一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法.【巩固】

5、将1~12这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法？【例1】圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红色(蓝色)多边形．不包含红点及蓝点的称无色多边形．试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角形到12边形)中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？【巩固】有一类各位数字各不相同的五位数，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字

6、大．另有一类各位数字各不相同的五位数，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小．请问符合要求的数与，哪一类的个数多？多多少？【例1】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【例1】有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【巩固】一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【例2】如下图，一只蜜蜂从处出发，回到家里处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房

7、而不准逆行，共有多少种回家的方法？【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由房间到达房间有多少种方法？课堂检测【随练1】如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。【随练2】在一个西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成多少片？【随练1】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？家庭作业【作业1】在一大块面包上切刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【作业1】在