两个矩阵同时相似对角化的matlab程序

《两个矩阵同时相似对角化的matlab程序》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、两个矩阵同时相似对角化的MATLAB程序　　摘要：使用Matlab语言设计出实现两个复矩阵同时相似对角化的计算机程序。　　关键词：同时相似对角化；Matlab；程序　　矩阵对角化是重要的数学方法，但因其计算过程繁琐，人们往往望之生畏，尤其是多个矩阵同时对角化问题，因此本文设计出判断及计算两个复矩阵能否同时相似对角化的Matlab程序，用此能够方便地解决两个复矩阵同时相似对角化问题。　　1.理论基础　　定义[1]：设A、B是数域F上两个n阶矩阵，若存在f上的n阶可逆矩阵t，使得T-1AT与T-1BT同时为对角矩阵，则称A、B可同时相似对角化.　　定理[1]：设A、B都是复数域C上的n阶矩

2、阵，若AB=BA且A、B都可对角化，则存在可逆的T，使得T-1AT、T-1BT同时为对角形.　　证：因为A可对角化，所以存在可逆的P，使得　　其中?d1，…，?d互不相同且n1+...+ns=n.又AB=BA（P-1AP）（P-1BP）=（P-1BP）（P-1AP），所以　　是准对角矩阵.其中Bi是ni阶方阵（i=1，2，…，s）.但因为B可对角化，所以它的初等因子都是一次的，于是Bi的初等因子都是一次的，所以存在ni阶可逆方阵Qi，使得Qi-1BiQi（i=1，2，…6，s）为对角形，于是令Q=diag[Q1，...，Qs]，则必有　　是对角形.于是令T=PQ，则T可逆，并且　　同时

3、都是对角形.　　2.算法设计　　定理给出了判定两个矩阵能否同时相似对角化的条件，定理的证明给出了两个矩阵同时相似对角化的方法，据此设计算法如下：　　Step1.依次判定是否AB=BA、B是否可以相似对角化、A是否可以相似对角化，若均是则转，否则输出A与B不能同时相似对角化（在MATLAB中可使用命令"[P，D]=eig（A）"求出一个矩阵P及对角矩阵D，再计算P的行列式的值即可断定A能否相似对角化）。　　Step2.确定A的特征根的个数s及每个特征根的重数ni，并将D改写为D=diag[?d1ni，...，　　?dsns]（?d1，...，?ds是A的互不相同的特征根，ni是?di的重

4、数），且对P的列按照D中?di的次序进行排列；　　Step3.计算P-1BP=diag[B1，...，Bs]，且求变换矩阵Qi，使Qi-1BiQi（i=1，...，s）为对角形；　　Step4.令Q=diag[Q1，...，Qs]，T=PQ，则T-1AT、T-1BT同为对角形。　　算法的关键步骤是计算P-1BP=diag[B1，...，Bs]，而其中的P必须由以下形式的D来确定：（D=diag[?d1ni，...，?dsns]（?d1，...，?ds是A的互不相同的特征根，ni是?di的重数，n1+...+ns=n），而P的第i列?gi与D的对角线上的第i个元素?di6相对应，即?gi

5、是A属于?di的特征向量。然而MATLAB的相似对角化命令[P，D]=eig（A）所求出的P与D未必满足要求，所以必须将MATLAB所求出的P与D变形为我们所需要的P与D，为此就应该对MATLAB所求出的D的对角线上的元素重新排列、同时对P的列也做相应的排列，具体方法是：扫描的对角线上的元素，每次扫描确定一个特征根的重数，并将该次扫描所得到的相同的特征根集中排列在一起，并对P的列做同步排列，同时对扫描处理过的元素做出特定的标记，通过若干次扫描而求得A的特征根个数s与每个特征根?di的重数ni，并得到所需要的P与D。据此思想设计算法如下：　　whilek

6、o：　　if已被标记，那么继续；　　否则将?di作为一个新的特征根，令：s=s+1（统计特征根个数），k=k+1（已处理过的特征根的个数），ni（s）=ni（s）+1（统计重数），m=i（记忆最近处理过的?di的位置），?di=b（对?di做已处理标记）；　　forj=i+1tonDo：　　if?dj已被标记，那么继续?dj+1；　　else如果?dj=?dm，那么令：ni（s）=ni（s）+1（?di增加重数），k=k+1（又处理一个）；　　ifj-m=1（即?dj与?dm相邻），那么D与P都不必重排；　　else需要交换P的第m+1与第j列，为此构造初等方阵Pij=Pm+1，j，令

7、P=P*Pij，同时相应交换D的元素?dj与?dm+1，并标记6?dm+1已被处理，且记m+m+1。　　3.程序设计　　根据上述算法，设计MATLAB程序如下：　　fprintf（'本程序的功能是判定两个n阶方阵A、B是否能够同时相似对角化，若＼n'）；　　fprintf（'能，则求出一个变换矩阵T，使得T^（-1）AT与T^（-1）BT同时为对角形。＼n'）；　　fprintf（'输入矩阵时，矩阵元素请放在"[]"内，并且同行中的元素用空格＼