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1、逆变矢量和协变矢量的几何意义胡业腾钟克武,,根据张量原理同一矢量可以用其逆变分量来表示也可以用其协变分量来表示本文,,根据一般维空间的逆变矢量和协变矢量的定义找出其几何相应表示并由此推出同一矢量的逆变分量与协变分量之间的关系、、设在维空间中有一矢量录用中一有向线段来表示此矢量首先让我们将这个!‘,#’⋯,有向线段平行投影到的个坐标轴上得到它的个平行分量∀#兰玛如果每∃一%%,&‘个坐标轴上平行投影的单位矢量用巴,己∋(伽表示则矢量#的平行投影分量式可表为∃%∃%∀+%#&∗&)#,必须注意上式中重复指标&要从+到求和且因为重复指
2、标字母可以任取所以上式可一以写为了矛二痴一矛认等形式一,−%∃%一%,,其次用∀#.%表示矢量#与.的内积根据内积运算法则我们有一%∃%∃%,‘,∗0,∗,‘,&&#)∀##%“##∀%)1##∀∋%/,,其中重复指标&都要从+到求和∀∋%式中一,一》1‘,,∀∗‘,∗,%∀&,声+,∋,⋯%二∀2%‘。,、1是一个很重要的量它叫做维空间中的度规张量根据∀2%式3的意义可理解为,各坐标轴上的单位矢量内积的集合这个集合写成矩阵形式为∃、一一一%卜一%一)‘∃、了∃+%%一臼∗汀∃‘∃气了广4、4‘5+∋,,∋(∋(歹∋(∋(,∋%
3、&%&⋯&,!−,歇如∀#而邵岛今,∃一∃∃一钊一卜一卜%‘%∃%一%&∋,∋(%∋,∋(∋,己⋯&%⋯&%&!%式应用于.在坐标轴/‘,−把上的平行分矢量可得度规张量矩阵对角线上第一个元素的表示式一%一%#∋,,∋,,∋,’’+#’∗.+,&%..,0夏&.%2%#∋、’∗.3++01#!&4%&.%((&4%式说明∀的意义是矢量.在坐标轴/#上分矢量的模方与矢量.在护轴上分量平方∃,守‘∋、‘。∃‘、5.3的比值推广到度规张量矩阵对角线上任一元素则有∀一一&此处6不累加%小令&.,∀“/‘因此1般地说是矢量.在坐标轴上分矢量的模方与
4、在该坐标轴上分量平方的比∀,6%7,值在∋%式中如果穿一或则∀式变成、、一蔺训7一般地就有0“一8试97∀此处‘不,‘0累加%这又进一步说明1等于坐标轴:‘上单位矢量的模方,7为了找出#&的坐标变换规律让我们把∀%式应用干维空间位置矢径元;了是茄!,:’,尸∀趁,’,”,空间中点<∀:5⋯%到邻点<=;:王%川=;:⋯=;:%的矢径元于是一%−%;犷)&∗;:’>,产式中分量元;:为矢径元;在第/个坐标轴上的平行投影由∀∋%式得<点与<点的距离为∋’?>‘,‘‘∀;%)≅;5)1;:;:∀(%一,1‘,为用矢径元;7‘,式∀(%告诉我
5、们在各坐标轴上的平行分量心去计算空间!中两邻点。的系数正是在这个意义上称1‘0距离时所引入为度规张量由于式∀(%是式∀∋%的具体应,:‘‘‘的用所以∀(%式中的;应与式∀∋%中的#具有相同的变换规律;:坐标变换式我们,它都很熟悉是7;:)夕兰二;补Α∀Β%:“口“+,:’,⋯:%的第Χ。‘的其中;:是矢径;:在新坐标系∀:个坐标轴上平行分量所以#坐标变换式为口:&#‘∃#∀Δ%Χ日万‘,,根据逆变矢量的定义可知#是矢量#的逆变分量这就是说凡由矢量对坐标轴按平,,行投影所得的分量或者说矢量沿各坐标增加方向的分量就是矢量的逆变分量,我们先,为了
6、讨论矢量协变分量的儿何意义来研究力学中一个具体例子设力/在空间,,中移动;所做元功为;#把这个元功用分量形式表示有‘‘;#)/;:∀&从+到2求和%∀Ε%因,为功;#是一个标量与坐标的选择无关所以;#在带短横线的坐标系中又可表示为;#;:∀Χ从+到2求和%∀3%‘‘今/,“”式∀Ε%中的/;:实际上为力个坐标轴方向所做的元功如果这里也引入分力的概念,·则/Φ;:‘可理解为力厂在第&个坐标轴上的分量/‘与位移分量心‘的乘积∀注,“”概念与通常在物理学中所介绍的分力概念不同%显然在力学中这个分力意这里的分力‘:‘比较式∀Ε/为力/在坐标轴的垂直投
7、影%与式∀3%得。‘‘/;:)/;:’;0‘将关系式于一;:代入上式得华ΧΓ劣。口∃、‘:‘/;:)/共工’;口Γ‘,因为;:是独立变量上式意味着、一,凡豁‘,‘,、可知/服从协变矢量的变换规律所以/是力的协变分量般地说中的任一矢了一、,、童又如果用中的有向线段来表示它则也可以将这个有向线段垂直投影到空间。的一,−%一%#7,#7,,。‘,。,。“个坐标轴上得到它的个垂直投影分量∀⋯#%如果用于⋯表示每坐标一%‘,#垂直投影分轴上垂直投影的单位矢量则矢量量表示式为一%一》#)#‘∗&∀+Η%‘、、、,滋就是矢量#的协变分量类似于矢量#在逆
8、变分量下式∀∋%∀2%∀6%∀(%的相同运算可得矢量#的协变分量下的对应结果叫卜∃%∃%姓≅’∃姓0姓,∀
