欧氏几何公理体系

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1、WORD完美整理版第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义P1三、欧几里得《几何原本》简介P2四、完备化的希尔伯特公理体系P5五、中学几何公理系统P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1．什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。”一般由4部分组成：(1)原始概念的列举(2)定义的叙述(3)公理的列举(4)定理的叙述和证明4个部分不是独立地叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。原始概

2、念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。如欧氏几何、罗氏几何等。原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：◆一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内；◆两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线；◆过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。公理是“范文范例参考指导WORD完美整理版在一个系统中已为反复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性

3、.”。一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。2．公理系统的三个基本问题(1)相容性(无矛盾性)若由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系

4、，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。(2)独立性(公理数量最少问题)确定∑中每个公理是必要的，不是多余的，不能由其它公理导出，保证公理是最少个数问题。解决起来很困难，如第五公设。在实际教学中，从学生的现有知识水平出发，为了提高教学效率，故意多列一些公理，便于论证。(3)完备性(公理个数最大化问题)公理个数尽可能多，保证每个定理均能推出

5、。《几何原本》所列的公理是不够的，证明中借助了几何直观和其它默契，如无顺序性等。公理的完备性相当复杂，到目前为止，希尔伯特在《几何基础》中才将欧氏几何的公理完备性解决。一般地，多数数学理论是以不完备的公理系统为基础的，如群论(存在不同构的群)。对于一个∑，要求必须是相容的，最好是独立的，，是否完备则视需要而定。3．公理化方法的意义和作用关于公理化思想方法的作用，徐利治归结为以下4点：◆这种方法具有分析、总结数学知识的作用。凡取得了公理结构形式的数学，由于定理和命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便。◆公理化方法把一门数

6、学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性不同，并能促使和推动新理论的创立。◆数学公理化方法在科学方法上有示范作用。这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如，19世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化；而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……◆公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例。三、欧几里得《几何原本》简介欧几里得是柏拉图范文范例参考指导WORD完美整理版的学生，以其《几何原本》闻名于世，但

7、身世不详，没有哪位伟人能象他那样声誉持久。其贡献在于对前人的材料加以整理，并在书中作了系统阐述，于公元前300年完成《几何原本》。本人是一个温和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，长期在亚历山大城进行教学和研究工作。他反对学数学投机取巧，也反对狭隘的实用观点。一次，托勒密问他有无学习几何的捷径，回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”成为千古传诵的学习箴言。又一个学生问学习几何后能得到什么，欧几里得回答说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。”《几何原本》先以手抄本流传，在有印刷术后，先后有1000多种版本，在西方是仅次于

8、《圣经》的出版量最多的书，其影响之深远，以致使欧几里得和几何学成了同义词。1．《几何原本》简介《几何原本》由希腊数学家欧几里得﹝Euclid，公元前300年前后﹞所著，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名