04 勾股定理与应用.doc

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1、勾股定理与应用1．勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和．2．勾股定理的逆定理：有一条边的平方等于其他两边的平方和的三角形是直角三角形．勾股定理最早的文字记载见于欧几里得（公元前三世纪）的《几何原本》第一卷命题47，“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和”．勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方又称毕达哥拉斯定理，它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理为欧氏几何的“拱心石”．数学大师陈省身先生说：“欧几里得几何的主要结论有两个，一个是毕达哥拉斯定理，一个是三角形内角之和等于1800．”华罗庚教授曾建议把它送入其他星球，作为地

2、球人与“外星人”交谈的语言，以探索宇宙的奥妙．到目前为止，勾股定理已有300多种证法．勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证；对于已知三角形的三边的长，要判断其形状，则可根据勾股定理的逆定理通过计算进行判定．如果在问题的条件中发现与勾股定理极为类似的形式，就应设法将所涉及的线段集中于一个直角三角形中，或者设法构作出这个直角三角形，再进行证明．我国汉代数学家赵爽著《勾股圆方图》全文530余字，在我国第一次明确给出了勾股定理的理论证明，“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股

3、之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实”．证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形（如正方形ABCD），然后在“弦图”内部作四个直角三角形（如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG）．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有c2＝4×ab＋（b－a）2　　c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，c2＝a2＋b2．即c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，即c2＝a2＋b2．从而巧妙地证明了勾股定理．这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”

4、的许多新证法．事实上每位初中同学学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例拓展，希望细细体会．拓展　设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．（1）在图2中，有a2＋b2＝（S3＋S5）＋（S1＋S2＋S4）　　＝（S4＋S5）＋（S1＋S2＋S3）＝2S2＋S1＋S3＝c2．　（2）在图3中，有a2＋b2＝（S3＋S4）＋（S1＋S2）　　＝S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5＝c2（3）在图4中，有a2＋b2＝（S2＋S5）＋（S1＋S3＋S4）　　＝S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．（4）在图5中，有　a2＋b2＝(S′2＋S5)＋(S1＋S

5、3＋S4)　　　＝(S＇2＋S4)＋(S1＋S3＋S5)　＝S1＋S2＋S3＋S5＝c2．在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1如图6所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB＝AE，AC＝AG，∠CAE＝∠BAG，所以△ACE≌△AGB（SAS）．

6、而S△ACE＝AE×ME＝SAEML，S△ABG＝AG×GF＝SACFG＝b2，　所以SAEML＝b2．①　同理可证SBLMD＝a2．②①＋②得SABDE＝SAEML＋SBLMD＝b2＋a2，即c2＝a2＋b2．证法2　如图7所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．构成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG＝GH＝HB＝AB＝c，∠BAG＝∠AGH＝∠GHB＝∠HBA＝90°，因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方

7、形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形（△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面积和，即（a＋b）2＝c2＋4×ab，化简得a2＋b2＝c2．　证法3　如图8在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为