浅谈逆向思维在初中数学解题中的运用

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1、浅谈逆向思维在初中数学解题中的运用舒作林广西桂林市全州县石塔口初中541513摘要：文章通过众所周知的三个故事浅显易懂地揭示了何为逆向思维，然后列举了初中内容的10个数学题例，逐个分析归类，说明了在数学解题和证题过程中运用逆向思维的四大功效，总结发掘、运用、推广逆向思维来解决数学问题的重要意义。关键词：逆向思维初中数学教学解题运用何谓逆向思维呢？让我们用三个熟悉的故事来揭示。记得小时候语文课木上有一个《乌鸦喝水》的故事，讲述一只口渴的乌鸦找到了一个瓶深、瓶口小、里面水少的瓶子，它无法把头伸下去喝到水。后来，它想了一个办法，叼了些小石头放进瓶里，使水位升

2、上来，终于喝上了水。另有一个故事，讲述的是几位小朋友在一起玩皮球时，不小心把球掉进了一棵大树的树洞里，树洞小而深，人无法伸手或用物下去取出皮球，小朋友们就想出往树洞里灌水的办法，使皮球浮出树洞。这两个故事有个共性就是:按一般的做法伸下去取物不成，就换思维方法，从其它方面入手，使物升上来取。还有一个妇孺皆知的北宋司马光孩提时代破缸救友的故事，一般看来，要使掉进水缸里的孩子不被淹死，就要把他拉出来，使“人离开水”，但是缸高、人矮、力气小，怎么办呢？司马光急中牛智，把缸打破，来了个“水离开人”。这些故事给了我们有益的启示：离开常走的大道另辟蹊径，运用逆向思维

3、，往往会有意想不到的收获。日常牛活如此，学习数学也不例外，运用逆向思维常常会使问题得到出奇、巧妙的解决。下面就举例浅谈逆向思维在初中解题中的具体运用。一、以简驭繁，化难为易，逆思倒推，豁然开朗例5•计算3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1这道题目式了长而数字大，若按整式乘法按部就班地展开运算，显然很繁琐,且易错，如果从整式乘法的逆运算因式分解联想平方差公式，把3看成(2-1)(2+1)=22-1,再反复运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2z就会产生“连锁反应”，有“金蝉脱壳”之效，轻而易举地算岀结果。

4、相信大家都能写岀解题过程和结果。三、声东击西，推此及彼，“柳暗花明”，迎刃而解例6.当m为何值时*,两方程2x2+mx+2=0和x2-2mx+l=0中至少有一个方程有实数根？本题属于“至少型”问题，从正面考虑，则要分一个、两个实数根两种情况进行讨论，计算比较复杂，如从“至少有一个”的反面“一个都没有”入手思考，情况就简单得多。解:若两方程都无实根,则厶l=m2-16<0,即・4&△2=4m2-4<0,亦即・1<m<l时两方程都无实根。故当m≥l或m≤-l时，两方程中至少有一个实数根。此例说明，在解“至少型”问题吋，运

5、用逆向思维，考虑其反面是行之有效的常用方法。四、奇思妙想，左右逢源，切中要害，出奇制胜例7•已知方程2x2+3x-l=0,求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程的各根的两倍。一见这道习题，便可想到几种解法，但真正显得简便、巧妙的方法还是从反面思考，根据所求方程与已知方程根的某种关系，用“变根代换法”把已知方程变换成所求的方程。不妨一解：设所求的一元二次方程的根是％原方程的根为x,依题意得y二2x,则x=0.5y代入原方程得2(0.5y)2+3(0.5y)-l=0,即y2+3y-2=0为所求的方程。例8.已知x2-3x+l=0,求X4+X-4的值，这

6、一题若按常规解法，先解方程x2-3x+l=0求出x的两个解值，再分别代入原式中求值，显然太复杂，不可取。若不解方程，将方程移项变形便可得x+x-l=3,再从X4+X-4入手，将其化为(x2+x-2)2-2=[(X+X-l)2-2]2-2=47o显然算起来容易得多。数学证明题中反证法也是一种运用逆向思维的典型方法。在解题和证题中使用此方法能解决按常规思维难于解决的问题。例9.求证：凸多边形的锐角不能多于3个。这个问题涉及的是数量不能问题，按常规思维，难以找到突破口，无从下手。若运用逆向思维，使用反证法，则“柳暗花明”，问题能迎刃而解。现在用反证法证明：假

7、设凸n边形(n>3)的锐角多于3个，那么这n个内角中至少有4个角(不妨设为A、B、C、D)都是锐角，则有A+B+C+D<360°⑴令其(n-4)个内角和为S,则有S<(n-4)180°(2),由⑴、(2)两式左右分别相加得:A+B+C+D+S<(n-2)180°。显然该式与n边形的n个内角和A+B+C+D+S=(n-2)180°相矛盾。故凸多边形的锐角不能多于3个。运用逆向思维来解答数学选择题也是一种快捷简便的常用方法。这种方法就是从题支入手通过推理排除，最后确定题干的答案。例10.试判断一次函数

8、y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c同一坐标系内的图像是()o对于这道选择题，若从已知推