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《高考数学（理）二轮复习专题突破 第9讲 三角恒等变换与解三角形---精校解析Word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9讲 三角恒等变换与解三角形1.[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.[试做] 2.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.[试做] 3.[2013·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△
2、ABC面积的最大值.[试做] 命题角度 利用正、余弦定理解三角形①利用正、余弦定理解三角形的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.②利用公式S△ABC=12acsinB=12bcsinA=12absinC解决三角形面积问题的方法:若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式求得面积.③求三角形面积的最值时,一
3、般将面积表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.解答1三角形基本量的求解1在△ABC中,已知AB=27,C=π6,点D在AC边上,且∠ADB=π3.(1)若BD=4,求tan∠ABC;(2)若AD=3BC,求△ABC的周长.[听课笔记] 【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实
4、施边角之间的互化;第三步:求结果.【自我检测】已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC=2asinC+bsinB.(1)求B;(2)若A=5π12,b=2,求a和c. 解答2与三角形面积有关的问题2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcosB=acosC+ccosA.(1)求B;(2)求△ABC面积的最大值.[听课笔记] 【考场点拨】三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三
5、角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.【自我检测】已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.(1)求B;(2)若△ABC的面积为334,且b=3,求a+c的值. 解答3以平面几何为载体的解三角形问题3如图M2-9-1所示,已知在△ABC中,B=π3,BC=2.图M2-9-1(1)若AC=3,求AB的长;(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC于点E,ED=62,求A.[听课笔记] 【考场点拨】解决以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分利用平面几何图形的
6、性质;二是出现多个三角形时,从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化到三角形中去求解;四是通过三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于等于π3确定角或边的范围.【自我检测】已知△ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sinC,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=192,求△ABC的面积. 第9讲 三角恒等变换与解三角形典型真题研析1.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45
7、°=2sin∠ADB,所以sin∠ADB=25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25,所以BC=5.2.解:(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA,由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,
8、即cos(B+C)=-12,所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.
