2004年第一学期高等数学期末试题(2003级)

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1、总分考试时间分钟号试题班级__________学号__________姓名__________一、填空题（20分）1．=。2．曲线的拐点为。3．抛物线在点处的曲率为。4．设在连续，则=。5．设和，则同时垂直于与的单位向量=。二、计算题（20分）1．；2．求由所确定隐函数对的二阶导数；3．求由摆线的一拱（）与轴所围图形的面积。4．曲线与在原点相切，求。三、计算下列各积分（15分）1．；2．；3．四、（10分）设，又设表示由曲线、轴及过点并垂直于轴的直线所围图形的面积。求函数的解析表达式，并求其导函数。五、（10分）设函数，（，常数）

2、。试求最小的常数a，使得。六、（10分）求直线在平面上的投影。七、（8分）设f(x)在区间[0，1]上可微,且，求证：在（0，1）内至少存在一点，使得。八、（7分）设f(x)在[a，b]上恒有，证明：。九、选做题（７分）设f(x)在[－a，a]上二阶导函数连续（），且f(0)=0，证明：在[－a，a]上至少存在一点，使得。2004年第一学期期终试题答案一、1.-2；2.（1，-7）；3.4.5.二、1．解：原式==2．解：=3．解：=4．解：由曲线与在原点相切得：所以=三、1．解：原式==2．解：，=3．解：==四、解：时，；时，

3、.当时,;当时,，当时，，，所以五、解：令，得，又，所以为在内的唯一极小值点，也是最小值点，由，得六、解：过直线的平面束为：即，所求平面与已知平面垂直，，投影为七、证：设，由罗尔定理,至少存在一点，使得八、证：设，则时,，，故上单调递减，，从而上单调递减，时，，，即九、（选做题）证：，，则，因为在连续，所以在有最大值M、最小值m，使，故，从而，由介值定理，，使，即。