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《2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 ２.设函数,为()3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是()4.在直角中,,为斜边上的高,D为垂足..设数列的通项为则()5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周
2、长为60的钝角三角形一共有______________种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为___________________11.函数的迭代的函
3、数定义为其中=2,3,4…设,则方程组的解为_________________12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合).1)若为钝角或平角(为原点),试确定的斜率的取值范围.2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14.数列由下式确定:,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15.设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,
4、并求出当取此最大值时,的取值.07年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.第2题解答过程令，则，且，，，.从而.令，则题设方程为，即，故，，，
5、，解得.从而.答：A.第3解答过程注意,2,7和9两两互质.因为（mod2）,（mod9）,所以（mod18）.（1）又因为，（mod7）,所以（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知（mod126）.答：C.另解：，，，，所以，其中B，C为整数.从而，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6.答：C.第4解答过程易见，即，又已知，故，，；，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和.故，.即，.故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见，
6、即，又已知，故，，.解得，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和，故，.于是数列就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系.所以答案为A.第5题解答过程可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，中不能被2，5或11整除的项的个数为，其中不表示不大于的最大整数，即的整数部分.估值：设，故.又因=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2
7、007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知.答：B.又解：可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于.）显然1，2，3，…中每连续110个整数，不
8、能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，中，不能被2，5，11整除的数有个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的.答：B.第6题解答过程显然；.注意到，,所以，.故.答：D.另解：，，=.因为和是实数，所以，,.答：
