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1、课时提升作业(三十)正多边形和圆(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( )A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.=D.∠BAC=30°【解析】选D.∵OA=AB=OB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°.又∵OC⊥AB,∴=,∠AOC=∠BOC=30°,∴∠BAC=15°,所以选项A,B,C都正确,D错误.2.(2013·滨州中考)若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分
2、别为( )A.6,3 B.3,3C.6,3D.6,3【解析】选B.作图如下,由正方形的性质、垂径定理可得OE=AE=3,OA=3.【变式训练】正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为( )A.2∶B.∶2C.2∶1D.∶1【解析】选A.设正六边形的半径是r,则外接圆的半径为r,内切圆的半径是正六边形的边心距,因而是r,因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.3.(2013·绵阳中考)如图,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为( )A.6mmB.12mmC.6
3、mmD.4mm【解析】选C.连接AC,过B作BD⊥AC于D;∵AB=BC,∴△ABC是等腰三角形,∴AD=CD.∵此多边形为正六边形,∴∠ABC=120°,∴∠ABD=60°,∴∠BAD=30°,∴BD=3,AD==3,∴b=2AD=6(mm).二、填空题(每小题4分,共12分)4.一元钱的硬币的直径约为24mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm(结果保留根号).【解析】如图,已知此圆半径为12mm,则OB=12mm.在直角△OBD中,∠BOD=60°,∴∠OBD=30°,∴OD=6mm,BD=
4、=6mm.∴BC=12mm.答案:125.(2013·南京中考)△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为 .【解析】根据已知,△OAB为等腰三角形,且△OAB的一个内角为70°,则这个角可能是底角,也可能是顶角.若70°角为顶角,则边数为=,不符合题意,舍去;若70°角为底角,则顶角为40°,则边数为=9,符合题意,故边数为9.答案:96.将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形,这个正方形的边长等于 (结果保留根号).【解
5、析】∵△BDE是等腰直角三角形,BE=1,∴BD=,∴正方形的边长等于AB+2BD=1+.[答案:1+三、解答题(共26分)7.(8分)已知:五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,边AB,BC,CD,DE,EA与☉O分别相切于点A′,B′,C′,D′,E′.求证:五边形ABCDE是正五边形.【证明】作☉O的半径OA′,OB′,OC′,则OA′⊥AB,OB′⊥BC,OC′⊥CD.∴∠OA′B=∠OB′B=∠OB′C=∠OC′C=90°,由OA′=OB′，OB=OB，可得△OA′B≌△OB′B(HL),∴A′
6、B=B′B，∠OBA′=∠OBB′，同理可得∠OCB′=∠OCC′又∵∠ABC=∠BCD,∴∠OBB′=∠OCB′，∴BB′=BC,同理A′B=AB,∴AB=BC,同理得AB=BC=CD=DE=EA,又∵∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA,∴五边形ABCDE是正五边形.8.(8分)(2013·安徽中考)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2)、图(3)…(1)观察以上图形并完
7、成下表:图形名称基本图的个数特征点的个数图(1)17图(2)212图(3)317图(4)4………猜想:在图(n)中,特征点的个数为 (用含n式子表示)(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= ;图(2013)的对称中心的横坐标为 .【解析】(1)22 5n+2.(2)正六边形的边长是2,所以边心距为,则x1=;图(2)的对称中心在正六边形的一边上,横坐标为2;图(3)的对称中心是正中间的正六边形的中心,横坐标为3,…,以此类推,图(20
8、13)的对称中心的横坐标为2013.【知识拓展】正多边形的性质(1)各边相等;各角相等.(2)正多边形都是轴对称图形,一个正n边形有n条对称轴,每一条对称轴都通过正n边形的中心.①边数是偶数边的正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②边数是奇数边的正多边形是轴对称图形.科#网]【培优训练】9.(10分)如图(1),(2),(3),…,(n)
